Kleinst- und größtmöglichen z-Koordinate? (Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen)

Question

Aufgabe:

Unter den Punkten (x, y, z) ∈ R^3 , die auf der Fläche M := {(x, y, z) ∈ R^3 | 4x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2yz − 4x = 1} liegen, ermitteln Sie diejenigen mit der kleinst- und größtmöglichen z-Koordinate.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand Tipps zu dieser Aufgabe geben oder wie man diese Frage richtig löst?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist eine Funktion der Form \(f(x,y,z)=\text{const}\). Da diese Konstanz für alle \(x,y,z\in\mathbb R\) gilt, muss das totale Differential von \(f\) verschwinden:$$0\stackrel{!}{=}df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$$Das totale Differential von \(z=z(x,y)\) als Funktion von \(x\) und \(y\) ist:$$dz(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$Das setzen wir ein:$$0=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\right)$$$$0=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)dy$$

Wegen \(dx\ne0\) und \(dy\ne0\) muss gelten:$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}=0\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=0\;\;\Rightarrow\;\;\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}\quad;\quad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$$Damit können wir den Gradienten von \(z=z(x,y)\) bestimmen:$$\operatorname{grad}z=\begin{pmatrix}-\frac{8x-4}{6z+2y}\\-\frac{6y+2z}{6z+2y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{4x-2}{3z+y}\\-\frac{3y+z}{3z+y}\end{pmatrix}$$und durch Nullsetzen die kritischen Punkte ermitteln:$$x=\frac{1}{2}\quad;\quad y=-\frac{1}{3}z$$

Das setzen wir in die Gleichung für die Punktmenge ein:$$1=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\left(-\frac{z}{3}\right)^2+3z^2+2\left(-\frac{z}{3}\right)z-4\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{8}{3}z^2-1\quad\Rightarrow\quad z^2=\frac{3}{4}$$Damit haben wir die beiden Extrempunkte gefunden:$$\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{2\sqrt3};\frac{\sqrt3}{2}\right)\quad;\quad\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2\sqrt3};-\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

Answer 2

Hallo,

kurz und knapp: Löse \(x^2+3 y^2+3 z^2+2 y z-4 x=1\) nach \(z\) auf und ermittle das Maximum/Minimum von \(z(x,y)\).