Aloha :)
Gegeben ist eine Funktion der Form f(x,y,z)=const. Da diese Konstanz für alle x,y,z∈R gilt, muss das totale Differential von f verschwinden:0=!df(x,y,z)=∂x∂fdx+∂y∂fdy+∂z∂fdzDas totale Differential von z=z(x,y) als Funktion von x und y ist:dz(x,y)=∂x∂zdx+∂y∂zdyDas setzen wir ein:0=∂x∂fdx+∂y∂fdy+∂z∂f(∂x∂zdx+∂y∂zdy)0=(∂x∂f+∂z∂f∂x∂z)dx+(∂y∂f+∂z∂f∂y∂z)dy
Wegen dx=0 und dy=0 muss gelten:∂x∂f+∂z∂f∂x∂z=0;∂y∂f+∂z∂f∂y∂z=0⇒∂x∂z=−∂z∂f∂x∂f;∂y∂z=−∂z∂f∂y∂fDamit können wir den Gradienten von z=z(x,y) bestimmen:gradz=(−6z+2y8x−4−6z+2y6y+2z)=(−3z+y4x−2−3z+y3y+z)und durch Nullsetzen die kritischen Punkte ermitteln:x=21;y=−31z
Das setzen wir in die Gleichung für die Punktmenge ein:1=4⋅(21)2+3(−3z)2+3z2+2(−3z)z−4(21)=38z2−1⇒z2=43Damit haben wir die beiden Extrempunkte gefunden:(21;23−1;23);(21;231;−23)