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Aufgabe:

Unter den Punkten (x, y, z) ∈ R3 , die auf der Fläche M := {(x, y, z) ∈ R3 | 4x2 + 3y2 + 3z2 + 2yz − 4x = 1} liegen, ermitteln Sie diejenigen mit der kleinst- und größtmöglichen z-Koordinate.



Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand Tipps zu dieser Aufgabe geben oder wie man diese Frage richtig löst?

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Aloha :)

Gegeben ist eine Funktion der Form f(x,y,z)=constf(x,y,z)=\text{const}. Da diese Konstanz für alle x,y,zRx,y,z\in\mathbb R gilt, muss das totale Differential von ff verschwinden:0=!df(x,y,z)=fxdx+fydy+fzdz0\stackrel{!}{=}df(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dzDas totale Differential von z=z(x,y)z=z(x,y) als Funktion von xx und yy ist:dz(x,y)=zxdx+zydydz(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dyDas setzen wir ein:0=fxdx+fydy+fz(zxdx+zydy)0=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\right)0=(fx+fzzx)dx+(fy+fzzy)dy0=\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)dy

Wegen dx0dx\ne0 und dy0dy\ne0 muss gelten:fx+fzzx=0;fy+fzzy=0        zx=fxfz;zy=fyfz\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial x}=0\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=0\;\;\Rightarrow\;\;\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}\quad;\quad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial z}}Damit können wir den Gradienten von z=z(x,y)z=z(x,y) bestimmen:gradz=(8x46z+2y6y+2z6z+2y)=(4x23z+y3y+z3z+y)\operatorname{grad}z=\begin{pmatrix}-\frac{8x-4}{6z+2y}\\-\frac{6y+2z}{6z+2y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{4x-2}{3z+y}\\-\frac{3y+z}{3z+y}\end{pmatrix}und durch Nullsetzen die kritischen Punkte ermitteln:x=12;y=13zx=\frac{1}{2}\quad;\quad y=-\frac{1}{3}z

Das setzen wir in die Gleichung für die Punktmenge ein:1=4(12)2+3(z3)2+3z2+2(z3)z4(12)=83z21z2=341=4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\left(-\frac{z}{3}\right)^2+3z^2+2\left(-\frac{z}{3}\right)z-4\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{8}{3}z^2-1\quad\Rightarrow\quad z^2=\frac{3}{4}Damit haben wir die beiden Extrempunkte gefunden:(12;123;32);(12;123;32)\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{2\sqrt3};\frac{\sqrt3}{2}\right)\quad;\quad\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2\sqrt3};-\frac{\sqrt3}{2}\right)

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Hallo,

kurz und knapp: Löse x2+3y2+3z2+2yz4x=1x^2+3 y^2+3 z^2+2 y z-4 x=1 nach zz auf und ermittle das Maximum/Minimum von z(x,y)z(x,y).

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