Hallo,
a) Sei \( A \approx B \), dann existiert ein \( S \in \operatorname{GL}(n,K) \) mit \( B = S^{-1} A S \). Wir zeigen per Induktion, dass \( B^m = S^{-1} A^m S \) für alle \( m \in \mathbb{N} \) gilt.
Induktionsanfang: \( m = 1 \): klar
Induktionsschritt: $$ B^{m+1} = B^m \cdot B \stackrel{\text{IV}}{=} S^{-1} A^m S B = S^{-1} A^m \underbrace{S S^{-1}}_{=I} A S = S^{-1} A^{m+1} S $$
Somit gilt aber auch für alle \( m \in \mathbb{N} \), dass \( A^m \approx B^m \).
b) Ich nehme an \( f \) soll ein Polynom sein? Falls ja: Sei auch hier \( A \approx B \), dann existiert wieder ein \( S \in \operatorname{GL}(n,K) \) mit \( B = S^{-1} A S \).
Sei jetzt \( f= \sum_{i=0}^n f_i x^i \), dann ist $$ \begin{aligned} f(B) &= f_n B^n + \dotsm + f_1 B + f_0 I \stackrel{\text{(a)}}{=}f_n S^{-1} A^n S + \dotsm + f_1 S^{-1} A S + f_0 S^{-1} I S \\ &= S^{-1} (f_n A^n + \dotsm + f_1 A + f_0 I) S = S^{-1} f(A) S \end{aligned} $$
also \( f(A) \approx f(B) \).
