Vollständige Indunktion. Ungleichung: 2^n größer gleich n^2

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 4 \) erfüllt ist:
$$ 2^{n} \geq n^{2} $$

 Könnt Ihr mir sagen, was ich hier falsch gemacht habe?

Answer 1

Den Induktionsanfang solltest du für n=4 machen:

2⁴≥4².

Für den Induktionsschluss musst du einen Hilfssatz beweisen:

2ⁿ≥2n+1

Wenn das bewiesen ist, wird diese Ungleichung zur Induktionsvoraussetzung addiert: 2ⁿ+2ⁿ≥n²+2n+1

oder 2·2ⁿ≥(n+1)²

oder 2ⁿ⁺¹≥(n+1)².

Comments

Es braucht keinen Hilfssatz: 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ ≥ 2·n² - (n+1)·(n-3) - 2 = (n+1)².
Außerdem ist in deiner letzten Zeile das Gleichheitszeichen falsch.

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Ja danke, Druckfehler verbessert.