Steckbriefaufgabe, ganzrationale Funktion dritten Grades

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades besitzt im Punkt W(2|14) eine Wendetangente mit der Steigung 15 und eine Nullstelle bei x=1.

Problem/Ansatz:

Ich suche die Funktionsgleichung

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Punkt W(2|14) eine Wendetangente mit der Steigung 15

==>   f(2) = 14  und f ' ' (2) = 0  und f ' (2) = 15

Nullstelle bei x=1.      f (1) = 0

Das gibt ein lineares Gleichungssystem für a,b,c,d.

Am Ende  f(x) = -x^3 +6x^2 3x -8

sieht so aus:  ~plot~ -x^3 +6x^2 +3x -8 ;[[0|5|-10|60]] ~plot~

Comments

wie war der Rechenweg?

---

Das Gleichungssystem ist

8a + 4b + 2c + d = 14
12a +2b              =0
12a + 4b +c       = 15
a   +b   +c+   d   = 0

Answer 2

Hallo,

das geht wie folgt:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ...

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d$$ das sind vier Unbekannte

... besitzt im Punkt W(2|14) ...

$$\implies f(2)  =14 \\ a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 14 \quad (1)$$

... eine Wendetangente ...

$$\implies f''(2) = 0 \\ 6a \cdot 2 + 2 b = 0 \quad (2)$$

... mit der Steigung 15 ...

$$\implies f'(2) = 15 \\ 3a \cdot 2^2 + 2b \cdot 2 + c = 15 \quad (3)$$

... und eine Nullstelle bei x=1.

$$\implies f(1) = 0 \\ a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 0 \quad (4)$$das sind 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten. Daraus folgt dann dieses Lineare Gleichungssystem$$\begin{pmatrix}8& 4& 2& 1\\ 12& 2& 0& 0\\ 12& 4& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14\\ 0\\ 15\\ 0\end{pmatrix}$$mit der Lösung \(a=-1\), \(b=6\), \(c= 3\) und \(d=-8\). Anbei noch der Plot

~plot~ {2|14};{1|0};-x^3+6x^2+3x-8;[[-4|8|-15|40]];15(x-2)+14 ~plot~

Answer 3

Ich hoffe, dass du ableiten kannst.

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b$$

-------------------------------------------------------------------------------------

Nullstelle bei x=1 bedeutet, dass der y-Wert 0 ist, also  \(f(1)=0\).

$$ 0=a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 +c\cdot 1+d ~~~~~(1)$$

------------------------------------------------------------------------------------

im Punkt W(2|14) bedeutet \(f(2)=14\).

$$ 14=a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +c\cdot 2+d ~~~~~(2)$$

------------------------------------------------------------------------------------

im Punkt W(2|14) eine Wendetangente bedeutet, dass W ein Wendepunkt ist, also \(f''(x)=0\).

$$ 0=6a\cdot 2 +2b ~~~~~~(3)$$
------------------------------------------------------------------------------------

Punkt W(2|14) eine Wendetangente mit der Steigung 15 bedeutet, dass die Tangentensteigung, also die erste Ableitung 15 ist, also \(f'(2)=15\).

$$15=3a\cdot2^2+2b\cdot2+c~~~~~(4)$$

-------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt hast du vier Gleichungen mit vier Variablen.

\begin{aligned} 0&=a+b+c+d\\ 14&=8a+4b+2c+d \\ 0&=12a+2b~~~~~~~~\Rightarrow b=-6a\\15&=12a+4b+c\\[5mm]  0&=a-6a+c+d\\ 14&=8a+4(-6a)+2c+d \\15&=12a+4(-6a)+c\\[5mm]0&=-5a+c+d\\ 14&=-16a+2c+d \\15&=-12a+c\end{aligned}

Die zweite minus die erste Gleichung:

\begin{aligned}14&=-11a+c\\15&=-12a+c\\[5mm]\end{aligned}

Erste minus zweite Gleichung:

\(-1=a\)

Einsetzen in \(14=-11a+c\Rightarrow c=3\)

\(b=-6a=-6\cdot(-1)=6\)

\(0=a+b+c+d \Rightarrow 0=-1+6+3+d\Rightarrow d=-8\)

--------------------------------------------------------------

Ergebnis: \(f(x)=-x^3+6x^2+3x-8\)