Steckbriefaufgabe. Ganzrationale Funktion dritten Grades

Question

Eine Parabel dritten Grades (kubische Parabel) hat im Punkt  P(0/1)  die Steigung mp= -1

ihr wendepunkt W(-1/4). Bestimmen Sie die Gleichung dieser Parabel

bitte Hilfe ich habe damit angefangen , f(x) =ax³ + bx² + cx + d  darzustellen  und dann die erste und zweite ableitung auch aber weiter konnte ich Leider net bitte könnten Sie mir helfen

Answer 1

weil es eine kubische Funktion ist und demnach vier Unbekannte hat, brauchst du auch vier Bedingungen.

$$ f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\\ f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c\\f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$

$$ (1)\quad f(0)=1 \Rightarrow d=1\\(2)\quad f'(0)=-1\Rightarrow c=-1\\(3)\quad f(-1)=4\\(4)\quad f''(-1)=0 $$

Mit (3) und (4) erhältst du dann dieses LGS:

$$(3)-a+b=2\Leftrightarrow b=2+a\\(4)-6a+2b=0 \Rightarrow -6a+2(2+a)=-4a+4=0\Leftrightarrow a=1\quad und \quad b=3 $$

ann hast du also $$ f(x)=x^3+3\cdot x^2-x+1 $$

Comments

Vielendank das gleiche habe ich gemacht  und hat gut geklappt

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Kein Problem :)

Answer 2

Begründe den Ansatz

$$f(x) = ax^3+bx^2-x+1$$und beschäftige dich dann mit dem Wendepunkt.

Comments

Vielen Dank  dafür ich habe es eingelöst

Answer 3

f(x) =ax³ + bx² + cx + d. Hier die Punkte P und W einsetzen.

f'(0)=-1;  f''(-1)=0.

Answer 4

Eine kubisches Polynom besitzt die Form \(ax^3+bx^2+cx+d=0\). Die uns bekannten Bedingungen sind:

[...] im Punkt (0|1) die Steigung mp=-1

f'(0)=-1

f(0)=1

[...] ihr Wendepunkt liegt bei W(-1|4)

f''(-1)=0

f(-1)=4

Stelle das Gleichungsssystem auf:

-a+b-c+d=4

-6a+2b=0

Wir wissen, dass \(c=-1\) und \(d=1\) ist. Versuch mal dieses Gleichungssystem zu lösen! Das Gleichungssystem lässt sich übrigens wie folgt vereinfachen:

I. -a+b+2=4

II. -6a+2b=0

Sieht ziemlich linear aus - mal schauen, ob du das kannst!

Kontrollösung:

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Einsetzungsverfahren:

I -a+b+2=4   ----> b=2+a

II. -6a+2*(2+a)=0

 = -6a+4+2a=0

 = -4a=-4

 = a=1

 b=2+1

 b=3

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