Binomialverteilte Zufallsvariablen, zeigen mithilfe stirlingscher Approximation?

Question

Leute, könnt ihr mir helfen, habe folgende Aufgabe...

Für eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen $$B_{n}$$ zum Parameter $$(n, p_{n})\in \mathbb{N} × (0, 1)$$ gelte $$\mathbb{E}(B_{n})\rightarrow λ$$. Zeigen Sie mit Hilfe der Stirlingschen
Approximation

$$ \mathrm{e}^{1 /(12 n+1)}<\frac{n !}{\sqrt{2 n \pi}(n / \mathrm{e})^{n}}<\mathrm{e}^{1 /(12 n)}(n \in \mathbb{N}) $$

dass

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(B_{n}=k\right)=\frac{\lambda^{k} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !}$$

Zudem soll ich das Ergebnis deuten. Hat da jemande eine Idee wie man das zeigt und deutet? Vielen Dank im Voraus!

Comments

Von Variante:

Titel: Thema: Binomialverteilte Zufallsvariablen

Stichworte: binomialverteilung,zufallsvariable

Für eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen $$B_{n}$$ zum Parameter $$(n, p_{n})\in \mathbb{N} × (0, 1)$$ gelte $$\mathbb{E}(B_{n})\rightarrow λ$$. Zeigen Sie mit Hilfe der Stirlingschen
Approximation

$$ \mathrm{e}^{1 /(12 n+1)}<\frac{n !}{\sqrt{2 n \pi}(n / \mathrm{e})^{n}}<\mathrm{e}^{1 /(12 n)}(n \in \mathbb{N}) $$
dass

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(B_{n}=k\right)=\frac{\lambda^{k} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !}$$

Das Ergebnis soll gedeutet werden. weiß jemand, wie man das löst?

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Welche Variante sieht korrekt(er) aus?