Servus Leute! Ich habe als Aufgabe zur Kettenregel bei multivariaten Funktionen folgendes bekommen:
Gegeben seien die Funktionen \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ F(x, y)=\sin (x y) \text { und } G(x, y)=e^{-x-y} $$
und die Koordinatentransformation
$$ \tilde{X}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(u, v)^{T} \mapsto u-2 v \quad \text { und } \quad \tilde{Y}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(u, v)^{T} \mapsto 2 u+v $$
Bestimmen Sie für \( \bar{F}, \tilde{G}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \) definiert durch
$$ \widetilde{F}:=F \circ\left[\begin{array}{l} \widetilde{X} \\ \widetilde{Y} \end{array}\right] \quad \text { bzw. } \quad \widetilde{G}:=G \circ\left[\begin{array}{l} \tilde{X} \\ \tilde{Y} \end{array}\right] $$
die partiellen Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel.
Ich habe versucht die Aufgabe ganz traditionell zu machen, 1:1 wie die Formel es im Skript von mir verlangt. Zuerst den Gradienten von F bzw. von G berechnet, dann jeweils das x und y im Gradienten durch X~ und Y~ ersetzt (die äußere Ableitung) und zum Schluss nochmal mit der Ableitung von
\( \begin{pmatrix} \widetilde{X}\\\widetilde{Y} \end{pmatrix} \)
nachmultipliziert, sodass ich für F~ da stehen habe:
\( \begin{pmatrix} (2u+v)*cos(u-2v)*(2u+v))\\(u-2v)*cos(u-2v)*(2u+v)) \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
Jetzt habe ich also eine 2x1 und eine 2x2 Matrix und bin 500 Meilen vom Ziel, einer einfachen Zahl, weg.
Ich habe die Vermutung, dass ich die zwei Transformationen beim Ableiten nicht als
\( \begin{pmatrix} \widetilde{X}\\\widetilde{Y} \end{pmatrix} \)
zusammenfassen darf, aber wie soll ich die dann sonst verketten?
Entweder lasse ich mich von der Formulierung zu sehr verwirren oder wir hatten wirklich noch nie eine Aufgabe dieser Form. So oder so finde ich den Ansatz nicht und weiß nicht wie ich vorgehen soll.
Hat jemand einen Rat oder Tipps?
