Zeigen Sie, dass f(f(x)) = f(x) für alle x \in M gilt

Question

Aufgabe:

\( (M,\sqsubseteq) \)ist vollständiger Verband mit Infimumsoperator \( \sqcap \). f ist eine bzg. \(\sqsubseteq\) isotone Funktion. Es gilt \(x \sqsubseteq f(x)\) und \(f(f(x)) \sqsubseteq f(x)\). Zeigen Sie, dass \(f(f(x)) = f(x)\) für alle x \(\in\) M gilt

Problem:

Ich komme leider nicht einmal auf einen Ansatz dieses Problem zu lösen. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Danke :)

Comments

Isoton heißt doch

$$ x \sqsubseteq y \implies f (x )\sqsubseteq f (y ) $$

oder?

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" Zeigen Sie, dass \(f(f(x)) = f(x)\) für alle x \(\in\) M gilt "

heisst eigentlich, dass du zeigen sollst, dass es sich um eine Projektion handelt. Oder?

Answer 1

Würde mal denken: $$x\sqsubseteq f(x) \Rightarrow f(x)\sqsubseteq f(f(x))$$

aufgrund der Isotonie, dann folgt mit $$f(f(x))\sqsubseteq f(x)$$ nach Voraussetzung und Antisymmetrie der Halbordnung $$f(x)=f(f(x))$$.