In welchem punkt der kurve verläuft die kurventangente parallel zur geraden?

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich leider nicht weiterkomme. Die Aufgabe lautet: Betrachten sie die durch die Gleichung f(x)= y = x^2+4x+3  dargestellte Kurve. In welchem Punkt der Kurve verläuft die Kurventangente parallel zur Geraden  g(x)= 5x+10  ?

Nun habe ich erst daran gedacht die erste Gleichung abzuleiten, sodass beide Geradengleichungen sind und dann die beiden Gleichungen gleichzusetzen, jedoch würde man dann ja den Schnittpunkt zwischen den beiden berechnen und nicht die Kurventangente. Ich bin nun etwas überfordert, ich hoffe mir kann da jemand helfen.

Liebe Grüße, Alina Schmitz

Answer 1

f(x) = x^2 + 4·x + 3

f'(x) = 2·x + 4

Bedingung
f'(x) = 5

2·x + 4 = 5

x = 1/2

f(1/2) = 21/4 = 5.25

Im Punkt P(0.5, 5.25) verläuft die Tangente parallel.

Comments

wieso muss man die Gerade ableiten?

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Du musst keine Gerade abeiten sondern die Funktion. Und das weil man die Steigung im Tangentenpunkt braucht.

Answer 2

\(f(x)=x^2+4x+3\)

Kurventangente parallel zur Geraden \(g(x)= \green{5}x+10\)?

Die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel findet man, wenn  \(f(x)=g(x)\) gesetzt werden.

\(x^2+4x+3= 5x+10\)

\(x^2-x= 7\)

\((x-0,5)^2= 7+0,25=7,25     |±\sqrt{~~}\)

\(x-\red{0,5}=±\sqrt{ 7,25 }\)

Rechne ich jetzt weiter, so erhalte ich die beiden x-Stellen der Schnittpunkte .

Die benötige ich aber nicht, sondern nur den Berührpunkt der Kurventangente  parallel zur Geraden \(g(x)= 5x+10\).

Die Berührstelle der Tangente liegt nun bei \(x=\red{0,5}\)

Berührpunktkoordinate \(B(0,5|5,25)\)

Die Tangentensteigung beträgt \(m=\green{5}\)

Die allgemeine Punkt-Steigungsform einer Geraden lautet: \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=m \)

Hier :\( \frac{y-5,25}{x-0,5}=5 \)

\(y=5x+2,75\)

Dieses ist nun die gesuchte Tangente an die Parabel.

Leider ist dieses Verfahren nur bei quadratischen Parabeln erfolgreich.