Question

Bestimmen Sie jeweils alle rationalen Nullstellen der Polynome

(a) \( X^{6}+X+128 \)
(b) \( X^{6}+X+13 \)

Comments

Wenn ich diese Aufgabe zu berechnen hätte würde
ich mir die Funktion plotten lassen und dann
gegebenenfalls mit einem Matheprogramm
/ Newtonverfahren den genauen Wert bestimmen.

Zu Fuß wäre dies eine Menge Arbeit.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

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Es gibt keine rationalen Nullstellen.

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Zu Fuß wäre dies eine Menge Arbeit.

Für Leute, die das Lemma von Gauß nicht kennen, ja.

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Hallo larry,
ich habe mir die Funktion plotten lassen und dann
gesehen das es keine Nullstellen gab.
Dies war die am wenigsten arbeitsaufwendige
Lösung.
Ich wäre auch interessiert an der Lösung Gauß.
Willst du mir diese einmal vorführen ?
mfg Georg

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Das hat oswald bereits getan.

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Alternativ: \(X^6+X+13=\left(X^3-X\right)^2+2\left(X^2-1\right)^2+3\left(X+\tfrac16\right)^2+\tfrac{131}{12}>10\) für alle \(X\in\mathbb R\).

Answer 1

Rationale Nullstellen müssen hier Teiler des Absolutglieds sein, also Teiler von 128 bei a) und Teiler von 13 bei b). Das sind endlich viele Zahlen, können also in endlicher Zeit geprüft werden.

Allgemein gilt: ist \(\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\) mit \(p,q\) teilerfremd eine rationale Nullstelle des Polynoms

        \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n\)

vom Grad \(n\) mit ganzzahligen Koeffizienten, dann ist \(p\) ein Teiler von \(a_0\) und \(q\) ein Teiler von \(a_n\).

Siehe Satz über rationale Nullstellen.

Answer 2

Werder Term a) noch Term b) hat rationale Nullstellen. Es gibt nur ein rationales Extremum. Das ist Minimum und hat einen positiven Funktionswert.

Comments

Es gibt nur ein rationales Extremum

Unfug !

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Der Kehrwert der 5. Wurzel aus 6 ist nicht rational.     :-)

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Nach Auffassung von hj2166 hast du recht.

Answer 3

Die Funktionen \(f(x)=x^{6}+x+c\) haben alle ein globales Minimum bei \( x=-\frac{1}{\sqrt[5]{6}} \).

Der y-Wert des Minimums liegt bei \(y_E=-\frac{5}{6 \sqrt[5]{6}}+c \approx -0,58236+c\).

Das liegt für c=13 und c=128 deutlich über der x-Achse. Da die Kurven nach oben geöffnet sind, gibt es keine reellen Nullstellen.

PS: Es gibt 6 komplexe Nullstellen, aber nach denen ist ja nicht gefragt.   :-)