Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen von p(x) = 3x5 +4x2 -1

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen von p(x) = 3x⁵ +4x² -1

Problem/Ansatz:

Algebra Klausuraufgabe.

Ich habe die erste Nullstelle durch probieren rausgefunden (-1) und dann mit Polynomdivision versucht weiterzumachen. Die Anderen beiden Nullstellen liegen allerdings bei -0,5306... und 0,4804....

Mir ist leider kein Ansatz bekannt, wie ich auf diese Nullstellen per Hand kommen kann. (Es sind rationale Nullstellen)

Comments

Es sind rationale Nullstellen

Das sind sie nicht. (Also bist du fertig)

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Okay, mir wurde die Nullstelle von GeoGebra mit 13 Nachkommastellen angegeben, deswegen bin ich davon ausgegangen, dass ich sie als Bruch darstellen könnte. Woran kann ich denn dann erkennen ob ich fertig bin? (Auf die Aufgabe gab es 4 Punkte, scheint mir etwas viel für eine Nullstelle, die man durch probieren in 2 Minuten findet)

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Für alle rationalen Nullstellen x₀ = p/q eines Polynoms a_nx^n + ... + a₀ mit ganzzahligen Koeffizienten gilt : p|a₀ und q|a_n

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+3x%5E5%2B4x%5E2-1

Die anderen bekommst du über ein Näherungsverfahren oder so:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

@hj2166:

Könnten Sie bitte hier mal reinschauen:

https://www.mathelounge.de/1069427/zeigen-die-reihe-konvergiert-oder-divergiert-log-exponenten

Wie kommt man auf den Summenwert? Danke für die Mühe vorab.

Answer 2

Nachdem du die Polynomdivision gemacht hast

(3·x^5 + 4·x^2 - 1)/(x + 1) = 3·x^4 - 3·x^3 + 3·x^2 + x - 1

Da es dir nur um rationale Nullstellen geht, würde ich jetzt den Satz über rationale Nullstellen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Gibt es eine rationale Nullstelle x = z/n, dann teilt z die -1 und n die 3. Da kommen jetzt nicht mehr viele Nullstellen infrage. Zeige, dass keine davon eine rationale Nullstelle ist.

Comments

Nachdem du die Polynomdivision gemacht hast

Die hast du hoffentlich nicht gemacht.