Question

Ist folgendes Polynom irreduzibel in Z[x] bzw. in Q[x]?

10x⁴ + 27x³ + 4x² + 31x + 10

Ich habe ein ziemlich großes Problem mit diesen Aufgaben und bin mir da immer gar nicht sicher wie man rangehen muss.

Also erstmal schau ich, ob ich einen Linearfaktor bzw. Nullstelle finde. Das kann ich mit dem rationalen Nullstellen Theorem machen, so da würde ich ungefähr 18 verschiedene Möglichkeiten zum Testen erhalten, in einer Klausur nicht so toll... um es abzukürzen, ich erhalte keine Nullstelle.

Habe dann noch probiert das ganze mod 3 zu nehmen und erhalte x⁴+x²+x+1, auf Nullstellen überprüfen ergibt:

f(0) = 1 mod 3 = 1

f(1) = 4 mod 3 = 1

f(2) = 23 mod 3 = 2

Ist vermutlich schneller... Also keine Nullstelle!

So, also gibt es keinen Linearfaktor und die einzige Möglichkeit ein reduzibles Polynom zu erhalten, sind zwei Polynome 2 Grades, also irgend etwas mit (a₂x²+a₁x+a₀)(b₂x²+b₁x+b₀)

Wie genau kann ich denn zeigen, dass dies ebenfalls nicht zutrifft? Also, das kein Polynom 2Grades existieren kann?

Comments

Da f primitiv ist: f irreduzibel in Z[x] <=> f irreduzibel in Q[x]

https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_(polynomials)

Deine Überlegungen so weit waren richtig.

Angenommen es gäbe eine Zerlegung \( f = (a_2x^2+a_1x+a_0)(b_2x_2+b_1x+b_0) \). Dann gilt das ja auch modulo (p). (Wobei p den Leitkoeffizienten von f nicht teilen darf)

Da du weißt, dass f modulo (3) (und 3 ist kein Teiler von 10, also alles gut) keine Nullstellen hat, dürfen also auch modulo (3) die quadratischen Terme nicht weiter in Linearfaktoren zerfallen. Quadratische Polynome über einem Körper ohne Nullstellen sind aber irreduzibel (nachdenken!).

D.h. überprüfe ob du modulo (3) ein irreduzibles Polynom vom Grad zwei findest, dass \( \bar f \) teilt . Du kannst annehmen, dass dieser irreduzible Faktor darüber hinaus normiert ist (nachdenken!)Es gibt dann btw. nur 3 Polynome zum überprüfen.

Wenn du keins findest, kann es eine solche Zerlegung nicht geben und f muss irreduzibel (zumindest über Q, aber wegen Primitivität auch über Z) sein.

Siehe auch das Reduktionskriterium:

https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom#Reduktionskriterium

(Das könntest du zur Übung auch einfach mal kurz selbst beweisen)

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Vielen Lieben Dank für diese super Kommentar!^^

Quadratische Polynome über einem Körper ohne Nullstellen sind aber irreduzibel (nachdenken!).

Naja, weil die Nullstelle ja schon ein Linearfaktor ist, bzw. eine Zerlegung des Polynoms 2ten Grades in ein Polynom von 2 Polynomen ersten Grades. Wenn keine Nullstelle vorhanden ist, gibt es ja keinen Linearfaktor und damit keine Zerlegung.

D.h. überprüfe ob du modulo (3) ein irreduzibles Polynom vom Grad zwei findest, dass \( \bar f \) teilt . Du kannst annehmen, dass dieser irreduzible Faktor darüber hinaus normiert ist (nachdenken!)Es gibt dann btw. nur 3 Polynome zum überprüfen.

Also ich habe schon ein bisschen im Internet recherchiert und denke, das es sich um die Polynome x² , x²+1 und x²+x+1 handelt. Ich kann mir jedoch nicht erklären, warum die normirt heißen, und warum es keine Polynome zb. -x², -x²-1, x²-2x+1 usw geben kann... sind jetzt schlechte Beispiele, weil man es schon sieht... aber ich hoffe man weiss, was ich meine, also warum ich polynome anderer Form ausschließen kann. (Ich erkenne das System nicht)

Ich habe die normierten Polynome (x² , x²+1 und x²+x+1) übrigens per Polynomdivision getestet und alle vielen mit Rest aus, somit gibt es keine solche Zerlegung und das Polynom ist reudzibel über Z[x] sowie Q[x].

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x^2 , x^2+1 und x^2+x+1

Es ist \( x^2 = x \cdot x \) also nicht irreduzibel.

Außerdem bei \( x^2 + x + 1 \) da ist doch \( \bar 1 \) eine NST. Das ist also auch nicht irreduzibel.

Suche also nochmal weiter.

Ich kann mir jedoch nicht erklären, warum die normirt heißen

Normiert heißt ein Polynom, wenn der Leitkoeffizient (der Koeffizient vor der höchsten Potenz) =1 ist

Du hast \(f = g \cdot h \). Wenn \( g \) jetzt nicht normiert ist ziehst du den Leitkoeffizient einfach aus dem g komplett raus (also jeden Koeff von g mit dem Inversen multiplizeren) und packst diesen Faktor dann mit in das h (jeden Faktor von h mit dem Leitkoeff von g mult.). So erhältst du aus jeder Zerlegung immer eine Zerlegung in der ein Faktor normiert ist.

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Ich habe mir das jetzt mal ganz umständlich gemacht und habe jedes mögliche Polynom aufgeschrieben,auch die -x^2-x+1, dies mit dem Inversen (-1) multipliziert ergibt x2+x-1. Jetzt habe ich das mit der Normiertheit verstanden.^^

Die Polynome müssten demnach also, x²+1,x²+x-1 und x²-x-1 sein?

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Ja.                                       .

Schau jetzt ob eins davon dein f teilt. Wenn nein: irreduzibel

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Alle mit Rest, also irreduzibel :)

Tausend Dank!^^

Answer 1

Hallo,

mulitpliziere die beiden Terme aus, klammere die \(x\)-Potenzen aus und mache einen Koeffizientenvergleich. Zeige, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist:$$(a_2x^2+a_1x+a_0)(b_2x^2+b_1x+b_0) \\ =a_2b_2x^4+(a_2b_1+a_1b_2)x^3+(a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2)x^2+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0$$

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort!

Ein Frage vorweg! Kann ich das für das Polynom, was ich bereits (mod 3)  genommen anwenden? Nachdem, was ich bei MatHaeMatician gelesen habe: Da du weißt, dass f modulo (3) (und 3 ist kein Teiler von 10, also alles gut) keine Nullstellen hat, dürfen also auch modulo (3) die quadratischen Terme nicht weiter in Linearfaktoren zerfallen.

müsste dies ja gehen.

Also angenommen es gibt ein LGS: dann hätten wir

1. a₂b₂=1

2. a₂b₁+a₁b₂=0

3. a₂b₀+a₁b₁+a₀b₂=1

4. a₁b₀+a₀b₁=1

5. a₀b₀=1

Also wäre mit a₂b₂=1 und a₀b₀=1, a₂=b₂=a₀=b₀=1, somit wären nach 2. a₁=-b₁

2. in 4. eingesetzt wären dann -b₁+b₁ = 1 und das ist ein wiederspruch, denn -b₁+b₁ ≠ 1?

Kann man das so machen?