Bestimmen Sie den Konvergenzradius von

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius von

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{((2k)!*z^k)/(3k)^k*k!} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe begonnen das Quotientenkriterium anzuwenden, indem ich den Bruch gedreht habe und dann so weit es ging gekürzt habe. Allerdings komme ich ab ((2k+1)(2k+2)*z*(3k)^k)/3(k+1)^(k+2) nicht weiter.

Comments

Hallo,

Dein ERgebnis kann ich nicht nachvollziehen. Vielleicht führst Du mal Deine Rechnung hier vor.

Auf jeden  Fall wirst Du die Info brauchen, dass

$$\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k} \to \frac{1}{e}$$

Gruß

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Steht das letzte k! mit im Nenner oder ( wie du

es geschrieben hast ) hinter dem Bruch  ?

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Ich habe folgendes gerechnet:

((2(k+1)!*z^(k+1))/3(k+1)^(k+1) *(k+1)!)*(((3k)^k *k!)/2(k)!*z^k)

=((2k+1)(2k+2)*z*(3k)^k)/ 3(k+1)^(k+1)*(k+1)

= ((2k+1)(2k+2)*z*(3k)^k)/3(k+1)^(k+2))

Ich habe einfach die Fakultäten rausgekürzt.

Das letzte k! steht mit im Nenner. Tut mir leid für die Schreibweise :)

Answer 1

Der Konvergenzradius ist ( wenn es konvergiert) der Grenzwert von

a_k / ak₊₁

$$\frac{\frac{(2k)! }{(3k)^k*k!}}{\frac{(2(k+1))! }{(3(k+1))^{k+1}*(k+1)!}}= \frac{(2k)! }{(3k)^k*k!}*\frac{( 3(k+1))^{k+1}*(k+1)!}{(2k+2)!}$$

$$= \frac{(2k)! }{3^k* k^k*k!}*\frac{ 3^{k+1}*(k+1)^{k+1}*(k+1)!}{(2k+2)!}$$

Jetzt mal jede Menge kürzen

$$= \frac{1 }{ k^k}*\frac{ 3*(k+1)^{k+1}*(k+1)}{(2k+1)(2k+2)}$$

$$= \frac{1 }{ k^k}*\frac{ 3*(k+1)^{k}*(k+1)*(k+1)}{(2k+1)(2k+2)}$$

$$= \frac{(k+1)^{k} }{ k^k}*\frac{ 3*(k+1)*(k+1)}{(2k+1)(2k+2)}$$

$$= (1+\frac{1}{ k})^k*\frac{ 3*(k+1)*(k+1)}{(2k+1)(2k+2)}$$

Der erste Bruch geht gegen e und der zweite gegen 3/4 , also

Radius = 3e / 4 .

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Dankeschön, jetzt sehe ich meinen Fehler.

Answer 2

Hallo

das z hat in der Betrachtung für die Konvergenz nichts zu suchen, nur die Koeffizienten a_n+1/a_n

1. ist (3k)^k=3^k*k^k

 also bleib davon nur ne 3 im Nenner.

dann hast du ausser den gekürzten  Fakultäten:

k^k/(k+1)^(k+1)=1/(k+1)*k^k/(k+1)^k=1/(k+1)*1/(1+1/k)^k

(irgendwie hast du plötzlich ein k+2 im Exponenten?)

 also schreib deine Ergebnisse besser auf, Falls du den Formeleditor nicht benutzen willst Zähler und Nenner deutlich unterscheiden.

Gruß lul

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Vielen Dank, ich werde es gleich nochmal versuchen!