DGL mit Substitution und Bernouli Verfahren

Question

Hallo, bei der folgenden Aufgabe handelt es sich um eine vorgestellte Aufgabe von unserem Prof. Das Problem hier ist, dass ich die folgenden Schritte nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht könnt ihr mir ja bei den folgenden Zwischenschritten helfen?

A-5 Gegeben ist die folgende DGL: \( y^{\prime}=-\frac{e^{-5 x}}{y^{4}}+y \quad \) und \( y(0)=1 \)

(a) Lösen Sie die DGL mit einer geeigneten Substitution:

Lösung:
(a) Bernouli-DGL:
$$ \begin{aligned} u &=y^{5} \\ u^{\prime} &=5 \cdot y^{5} \cdot y^{\prime} \\ y^{\prime} y^{4} &=-e^{-5 x}+y^{5} \\ \frac{u^{\prime}}{5} &=-e^{-5 x}+u \end{aligned} $$
lin. DGL für
$$ u_{h}^{\prime}=5 u_{h} $$
$$ \begin{aligned} \frac{d u_{h}}{u_{h}} &=5 d x \\ \ln u_{h} &=5 x+\ln C \\ u_{h} &=C \cdot e^{5 x} \end{aligned} $$ spez. Lösung der inhomog. DGL: Lösungsansatz: \( u_{s p}=A \cdot e^{-5 x} \rightarrow \) Einsetzen: $$ -A \cdot e^{-5 x}=-e^{-5 x}+A \cdot e^{-5 x} $$ "Das  verstehe ich nicht. Wo wurde hier wie eingesetzt? Mir ist schon klar, dass es für die Exponentialfunktion Ae^(bx) als Lösungsansatz y partikulär ce^(bx) genommen werden kann. Aber ich verstehe nicht, warum es hier so eingesetzt worden ist? Ich würde eigentlich gerne C´ * e^(5x) = -e ^(-5x) setzen, damit ich dann C erhalten. Aber da kommt C= e^(-10x) / 10 raus, was offensichtlich nicht stimmt. Beim weiteren Verlauf wurde dann für u statt y^5 der folgende Term verwendet: u =1/2 e^-(5x) + c * e^(5x). Wie man darauf kommt, weiß ich leider auch nicht. Wäre für Tipps sehr dankbar" $$ \begin{aligned} 2 A &=1 \rightarrow A=\frac{1}{2} \\ u &=\frac{1}{2} e^{-5 x}+C \cdot e^{5 x} \\ y^{5} &=\frac{1}{2} e^{-5 x}+C \cdot e^{5 x} \\ y(x) &=\sqrt[5]{\frac{1}{2} e^{-5 x}+C \cdot e^{5 x}} \\ y(0) &=\sqrt[5]{\frac{1}{2}+C}=1 \rightarrow C=\frac{1}{2} \\ y(x) &=\sqrt[5]{\cosh (5 x)} \end{aligned} $$

Answer 1

Hallo

wenn die rechte Seite nicht  ein Vielfaches der homogenen Lösung ist, macht man einen Ansatz

 nach Art der rechten Seite, hier eben up(x)=A*e^-5x,  u'=-5*A*e^-5x in die Dgl eingesetzt :

-5A*e^-5x/5=-e^-5x+A*e-5x ergibt -2Ae^-5x=-e-5x also muss -2A==-1 sein also A=1/2

Dass der Ansatz sinnvoll war sieht man am Ergebnis , up=1/2*e^-5x erfüllt die Dgl

natürlich kann man auch Variation der Konstanten machender das machst du falsch, richtig:

u=C(x)*e5x ,u'=C'*e5x+5*C*e^5x

 das einsetzen in die Dgl u'=-5e^-5x+5u:  C'*e^5x+5*C*e^5x=-5e^-5x+5Ce^5x

bleibt C'e^5x=-5e^-5x oder C'=-5e^-10x ., daraus C(x)=1/2*e^-10x+C1 und eingesetzt  in u=C(x)*e^5x  hast du (1/2*e^-10x+C1)e^5x, dasselbe was du auf die andere Methode hattest, wenn du die Klammer ausmultiplizierst.

welche Methode man verwendet ist egal!

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

zunächst ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung - \(u'=5u\) - bestimmt worden, das ist \(u(x)=C\exp(5x)\). Dann wird (irgend-)eine Lösung der inhomogenen Gleichung benötigt, die sog. spezielle Lösung oder auch partikuläre Lösung. Dafür kommen hier 2 Ansätze in Frage:

1. In der Lösung ist der zu erwartende Typ dieser Lösung "geraten" worden ("Ansazt vom Typ der rechten Seite"), also hier Ansatz: \(u(x)=A\exp(-5x)\) (mit einer Konstanten A). Diese Ansatzfunktion ist dann in die Differentialgleichung einzusetzen, um A zu bestimmen.

2. Man benutzt den Ansatz "Variation der Konstanten", also \(u(x)=c(x)\exp(5x)\), und geht damit in die Differentialgleichung hinein. Das hast Du gemacht, aber den Faktor \(1/5\) vergessen. Und nicht vergessen, wenn Du c bestimmt hast ist die Lösung \(u(x)=c(x)\exp(5x)\). Wenn Du das noch einmal durchgehst, wirst Du dieselbe Lösung erhalten wie in der Musterlösung.

Am Ende ist die Gesamtlösung die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung plus die spezielle Lösung.

Gruß