Randwertproblem 2.Ordnung , DGL

Question

Gegeben ist das Randwertproblem:

                                                            ( xy ' )' - \( \frac{y}{x} \) = f(x)

                                                            y(a) = 0 ,     0 < a < 1

                                                            y(1) = 1

1) Zeigen Sie schrittweise, dass die Funktionen y₁(x) = x  und  y₂(x) = \( \frac{1}{x} \) ein Fundamentalsystem der homogenen     Differentialgleichung bilden.

 Zeigen Sie, dass das Randwertproblem eindeutig lösbar ist.

2) Berechnen Sie schrittweise die Greensche Funktion des Randwertproblems und bestimmen Sie die Lösung y_a(x) für den Fall f(x) = \( \frac{1}{x} \)

Answer 1

Hallo,

zu 1)

y1(x) und y2(x) müssen die Gleichung L(y)=0 erfüllen. Leite dazu die Lösungen ab und setze das Ganze in die DGL ein.

Außerdem müssen y1 und Y2 linear unabhängig sein. Der Nachweis erfolgt mittes Wronsky Determinante.(det W(x)) ≠ 0)

Berechne die Lipschitz - Konstante, wenn diese existiert ,dann gibt es eine eindeutige Lösung, sonst nicht.

Zu 2)

(xy')' -y/x=1/x

x y'' +y' -y/x=1/x |*x

x^2 y'' +x y' -y=1 ->Euler DGL

Ansatz:  y= x^k ->2 Mal ableiten ->in die DGL einsetzen

->Charakt. Gleichung:

k^2 -1=0

k1,2= ±1

yh=C1/x +C2x

Partikuläre Lösung via Wronsky Determinante bestimmen

Anfangsbedingung einsetzen