Randwertproblem: Zeigen Sie, dass die Funktionen ein Fundamentalsystem der homogenen DGL bilden

Question

Gegeben ist das Randwertproblem:

                                                            ( xy ' )'  - \( \frac{y}{x} \) =  f(x)

                                                            y(a) = 0 ,    0 < a < 1

                                                            y(1) = 1



1) Zeigen Sie schrittweise, dass die Funktionen y₁(x) = x  und  y₂(x) =\( \frac{1}{x} \)
ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung bilden.

Zeigen Sie, dass das Randwertproblem eindeutig lösbar ist.

Answer 1

Hallo,

y₁(x) und y₂(x) müssen die Gleichung L(y)=0 erfüllen. Leite dazu die Lösungen ab und setze das Ganze in die DGL ein.

Außerdem müssen y₁ und _Y2 linear unabhängig sein. Der Nachweis erfolgt mittes Wronsky Determinante.(det W(x)) ≠ 0)

Berechne die Lipschitz - Konstante, wenn diese existiert ,dann gibt es eine eindeutige Lösung, sonst nicht.