Aufgabe:
Exponentialreihe
Problem/Ansatz:
… Für \( |x| \leq 1 \) ist wegen \( \left|\frac{x^{n}}{(n+1) !}\right| \leq \frac{1}{n !} \) die unendliche Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n+1) !} \)
beschrainkt durch \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}=e, \) also folgt
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=1+\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n+1) !}=1=f(0) $$
was die Stetigkeit von \( f \) bei \( x_{0}=0 \) beweist. Also ist tatsächlich
$$ e^{x}=\exp _{e}(x)=\exp (x)=f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $$
für alle \( x \in \mathbb{R} . \) Für die Eulersche Zahl ergibt sich der Wert \( e=2,71828182845904 \) Für exp können wir jetzt sogar Differenzierbarkeit und die Ableitungsregel
$$ \exp ^{\prime}=\exp \quad \text { d.h. } \quad\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} $$
beweisen. In der Definition des Differentialquotienten setzen wir \( h=x-x_{0}, \) also
$$ \exp ^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\exp (x)-\exp \left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\exp \left(x_{0}+h\right)-\exp \left(x_{0}\right)}{h} $$
Für den Zähler gilt wegen der Funktionalgleichung \( \exp \left(x_{0}+h\right)=\exp \left(x_{0}\right) \exp (h) . \) Sons können wir weiter schreiben
$$ \exp ^{\prime}\left(x_{0}\right)=\exp \left(x_{0}\right) \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\exp (h)-1}{h} $$
Der letzte Ausdruck
$$ \frac{\exp (h)-1}{h}=\frac{1}{h}\left(h+\frac{h^{2}}{2}+\frac{h^{3}}{6}+\ldots\right)=1+\frac{h}{2 !}+\frac{h^{2}}{3 !}+\ldots=1+h \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{h^{n}}{(n+2) !} $$
konvergiert für \( h \rightarrow 0 \) gegen 1 (Argument wie weiter oben bei der Stetigkeit) $$ \text { also gilt wirklich } \exp ^{\prime}\left(x_{0}\right)=\exp \left(x_{0}\right) $$
\( (T) \) In der obigen Rechnung wurde verwendet, dass \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{h^{n}}{(n+2)} \) für h aus einem Intervall um 0 beschränkt ist. Begründen Sie das für h \( \in[-1,1] \)
