Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der Funktion f : R+ → R+ : x → ⌊x⌋.

Question

Aufgabe:

Es sei R+ := {x∈R|x>0} die Menge der positiven Zahlen.
(a) Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der Funktion f : R+ → R+ : x → ⌊x⌋.
(b) Zeigen Sie direkt mit der Stetigkeitsdefinition, dass f : R+ → R+ : x → √x in x = 2 stetig ist.

Answer 1

1.  Ist stetig für alle x ∈ ℝ⁺ \ ℕ.

2. Sei ε>0 . Dann muss man ein δ > 0 bestimmen mit

Für alle x ∈  ℝ⁺ gilt: | x-2| < δ ==>  | √x - √2 | < ε        #

Dazu am besten mal umformen  | √x - √2 | < ε                | * ( √x + √2)  (ist positiv !

                            <=>    | √x - √2 | * ( √x + √2)< ε    * ( √x + √2)      3. binomi. Formel

                              <=>    | x - 2 |    < ε    * ( √x + √2)

# ist also erfüllt, wenn δ =    ε    * ( √x + √2)   ist. Allerdings darf

das ja nicht von x abhängen, aber weil  alle x ∈  ℝ⁺  √x + √2 > 1 ist ,

reicht die Wahl  δ =    ε  .  Dann folgt nämlich

| x-2| < δ ==>    | x-2| <  ε

==>    | √x - √2 | * ( √x + √2)< ε

 ==>  | √x - √2 | * ( √x + √2)< ε    * ( √x + √2)

==>     | √x - √2 |< ε   .  q.e.d.