Für x ∈ R sei ⌊x⌋ := max{g ∈ Z : g ≤ x} die nächstkleinere ganze Zahl von x.

Question

Aufgabe:

Für x ∈ R sei ⌊x⌋ := max{g ∈ Z : g ≤ x} die nächstkleinere ganze Zahl von x.
Beweisen Sie:

(a) x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1          ∀x ∈ R
(b) ⌊x + k⌋ = ⌊x⌋ + k                     ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z

Problem/Ansatz:

Wie ist hierbei vorzugehen?

Comments

Was bedeuten die Klammern um x?

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Die Definition dieser Klammer steht in der Überschrift und wird in der ersten Zeile der Aufgabenstellung wiederholt....

Diese Klammer wird auch Gaußklammer genannt und findet ihre Entsprechung auch in einer Taschenrechnerfunktion, die bei vielen Modellen int() oder auch floor() genannt wird.

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Die Abrundungsfunktion ordnet jeder reellen Zahl ihren linken Nachbareiner zu. Es gib

t verschiedene Schreibweisen.

Eine ist die sogenannte Gauß-Klammer:

Wieder so ein Zeichenwirrwarr wie bei den log und der Menge N.

Answer 1

Da würde ich wohl Stück für Stück vorgehen. Etwa:

Seien x∈ℝ und M:={g ∈ Z : g ≤ x}. Beh.:   ⌊x⌋ ≤ x

      <=>     max(M)  ≤ x

Da für alle g aus M      g ≤ x gilt

und Max ein Element der Menge ist,

gilt das auch für das das Max.

Beh.: x < ⌊x⌋ + 1 .

Es ist   ⌊x⌋ + 1 ∉ M ; denn wegen   ⌊x⌋ ∈ℤ ist auch ⌊x⌋ + 1∈ℤ.

Wäre also   ⌊x⌋ + 1 ≤ x, dann wäre   ⌊x⌋ + 1 ∈ M,

und wegen   ⌊x⌋ + 1 >   ⌊x⌋   wäre dann   ⌊x⌋ + 1 das Max. von M.

Widerspruch !         etc.