Aloha :)
Eine stationäre Verteilung \(\vec v_s\) ändert sich nicht mehr, wenn die Übergangsmatrix \(\mathbf M\) auf sie angewendet wird, das heißt formal:$$\mathbf M\cdot\vec v_s=\vec v_s$$Zur Berechnung von \(\vec v_s\) kann man diese Gleichung wie folgt umformen:
$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s=\vec v_s\quad\right|\;\vec v_s=\mathbf1\cdot\vec v_s$$$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s=\mathbf 1\cdot\vec v_s\quad\right|\;-\mathbf1\cdot\vec v_s$$$$\left.\mathbf M\cdot\vec v_s-\mathbf 1\cdot\vec v_s=\vec 0\quad\right|\;\text{Distributivgesetz für Matrizen}$$$$\left.\left(\mathbf M-\mathbf 1\right)\cdot\vec v_s=\vec 0\quad\right.$$Damit können wir die stationäre Lösung bestimmen:
$$\left(\mathbf M-\mathbf 1\right)\cdot\vec v_s=\left(\begin{pmatrix}0,2 & 0,1\\0,8 & 0,9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\right)\cdot\vec v_s=\begin{pmatrix}-0,8 & 0,1\\0,8 & -0,1\end{pmatrix}\cdot\vec v_s\stackrel{!}{=}0$$$$\begin{array}{r}x_s & y_s & = & \text{Operation}\\\hline-0,8 & 0,1 & 0 & +\text{Zeile }2\\0,8 & -0,1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 & \\0,8 & -0,1 & 0\end{array}$$Wir erhalten also die Forderung:$$0,8x_s-0,1y_s=0\quad\Leftrightarrow\quad0,1y_s=0,8x_s\quad\Leftrightarrow\quad y_s=8x_s$$Da es sich um eine Verteilung handelt, muss weiter \(x_s+y_s=1\) gelten, sodass:$$1=x_s+y_s=x_s+8x_s=9x_s\quad\Rightarrow\quad x_s=\frac{1}{9}\quad\Rightarrow\quad y_s=\frac{8}{9}$$Die gesuchte stationäre Verteilung ist also:$$\vec v_s=\binom{1/9}{8/9}$$
