Analysis: Kritische Punkte von f

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei \( f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \cdot \ln (x) \)
\( a \) ) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \) sowie die Nullstellen von \( f \)
b) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von \( f \)
\( c \) ) Bestimmen Sie mithilfe einer geeigneten Ableitung von \( f \), ob es sich bei den kritischen Stellen um lokale Extremalstellen handelt.
\( d \) ) Bestimmen Sie, falls vorhanden, die Wendestellen von \( f \)

Wie muss ich in a) vorgehen?

Answer 1

a)

lim (x → 0+) x^2·LN(x) = (0+)·(-∞) = -0

Hier darf man als Schüler wissen das Potenzfunktionen sich gegenüber den Logarithmusfunktionen durchsetzen.

Ansonsten z.B. Regel von L'Hospital anwenden

Nullstellen

x^2·LN(x) = 0 → Satz vom Nullprodukt liefert x = 1

b)

Extrempunkte

f'(x) = 2·x·LN(x) + x = x·(2·LN(x) + 1) = 0 --> x = e^(- 1/2) = 0.6065

Das ist eine Nullstelle mit VZW von - nach +.

f(e^(- 1/2)) = - e^(-1)/2 → TP(0.6065 | -0.1839)

c)

f''(x) = 2·LN(x) + 3
f''(e^(- 1/2)) = 2 → TP

d)

Wendestellen

f''(x) = 2·LN(x) + 3 = 0 --> x = e^(- 3/2)

Das ist eine Nullstelle mit VZW von - nach +.