Zeigen Sie: Ist I ein kompaktes Intervall und f : I -> IR stetig mit I ⊂ f(I), so gibt es ein x in I mit f(x) = x?

Question

Sei \(I:=[a, b] \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \( f: I \longrightarrow I \) eine stetige Funktion. Beweisen Sie, dass ein \( x \in I \) existiert, dass die Fixpunktgleichung \( f(x)=x \) erfült.

Zeigen Sie: Ist I ein kompaktes Intervall und f : I -> IR stetig mit I ⊂ (I), so gibt es ein x € I mit f (x) = x.
Tipp: Betrachten Sie g(x) := f (x) - x.

Answer 1

Es muss vermutlich heißen  f(I) ⊂ I.

Es sei  I = [a,b] ⊂ ℝ  mit a < b. Wegen  f(I) ⊂ I  gilt

a < f(a)  und  f(b) < b.

Sei  g(x) := f(x) - x.

Es folgt

0 < f(a) - a = g(a)  und  0 > f(b) - b = g(b).

Daher gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein  c ∈ I  mit

g(c) = 0.

D.h.  f(c) - c = 0, also  f(c) = c.

 

Comments

hm könntest du dieses "Wegen f(I) c I" genauer erläutern? Ist es nicht wenn überhaupt genau andersrum und zwar dass wenn f(I) c I, dann ist a>f(a) einfach nur weil f(a)  eine teilmenge von I ist, und hat somit entweder gleich oder weniger elemente?

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a ist das kleinste element in I, da f(I) weniger oder gleich viele elemente hat, ist a<=f(a)