Hallo,
für ein Primideal P gilt: Ist ab ∈ P, dann ist a ∈ P oder b ∈ P.
Die Einheiten in R = Z/18Z sind 1, 5, 7, 11, 13 und 17. Wir bemerken 1·1 = 1, 5·11 = 1, 7·13 = 1 und 17·17 = 1. Für eine Einheit a ist bekanntermaßen (a) = R. Die Einheiten kommen also nicht als Erzeuger für ein Primideal in Frage.
Die Nullteiler in R = Z/18Z sind 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 und 16. Da es Nullteiler gibt, ist (0) kein Primideal: Denn sei ab = 0 mit Nullteilern a, b ≠ 0, dann ist sowohl a ∉ (0) als auch b ∉ (0).
Wir betrachten zuletzt die von Nullteilern erzeugten Ideale. Es gibt die vier (nicht-trivialen) Ideale
(2) = (4) = (8) = (10) = (14) = (16) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 0},
(3) = (15) = {3, 6, 9, 12, 15, 0},
(6) = (12) = {6, 12, 0},
(9) = {9, 0}.
Wir erkennen, dass (2) und (3) Primideale sind: Es gibt keine Zerlegung für a ∈ (2), die keinen Faktor aus (2) enthält (0 = 2·9 = 3·6, 16 = 2·8 = 4·4, etc.). Auch für a ∈ (3) gibt es keine solche Zerlegung (15 = 3·5, 12 = 3·4 = 6·2, ...).
Für (6) finden wir 6 = 2·3 ∈ (6), aber 2 ∉ (6) und 3 ∉ (6). (6) ist daher kein Primideal. Gleiches gilt für 9 = 3·3 ∈ (9): Wir finden 3 ∉ (9).
Wir merken an, dass (6) ⊂ (2), (6) ⊂ (3) und (9) ⊂ (3) ist.
Grüße
Mister
