Primideale in Z[i] erkennen

Question

Aufgabe: Welche der Ideale 2*Z[i], 3*Z[i] und (1+i)*Z[i] sind Primideale in Z[i]?

Problem/Ansatz: Ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem, wie Ideale in Z[i] erzeugt werden?

In Z ist ja jedes durch eine Primzahl erzeugtes Ideal ein Primideal. Aber das kann ich doch nicht einfach auf Z[i] übertragen?

Answer 1

Wie ist die Def. von " J ist P=rimideal "  ? Etwa so:

Für alle x,y ∈ ℤ[i] gilt  x*y ∈ J ==>  x ∈ J oder  y ∈ J

Dann wäre 2*ℤ[i]  keines; wie x=1+i und y = 1-i zeigt.