Wenn du eine komplexe Zahl z in der Form
z = x+iy
mit x, y ∈ ℝ schreibst, dann nennt man x den Realteil von z und y den Imaginärteil von z.
x = Re(z)
y = Im(z)
b) ist ja bereits im Link vorgerechnet. Für a) geht man folgendermaßen vor:
z = 1/(3+4i)
Erweitere mit dem konjugiert komplexen des Nenners, also mit 3-4i.
Dann kann man unten die 3. binomische Formel verwenden und im Zähler steht einfach 3-4i.
z = (3-4i)/(9+16) = (3-4i)/25
Re(z) = 3/25
Im(z) = -4/25
c) Hier muss zuerst die Gleichung gelöst werden, also die Nullstellen von
z³-8 = 0
gefunden werden.
Eine Nullstelle ist 2, die reelle dritte Wurzel aus 8, damit kann man dann eine Polynomdivision durchführen:
(z³-8)/(z-2) = z²+2z+4
Das mit der pq-Formel die weiteren Lösungen liefert:
z2/3 = -1 ± √(1-4)
z2 = -1 + i√3
z3 = -1 - i√3
Damit gilt für die Real- und Imaginärteile der Lösungen:
z1: Re(z1) = 2, Im(z1) = 0
z2: Re(z2) = -1, Im(z2) = √3
z3: Re(z3) = -1, Im(z3) = -√3
d) Hier muss z³+8 = 0 gelöst werden.
Wiederum triviale Lösung ist z1 = -2, Polynomdivision gibt:
(z³+8)/(z+2) = z²-2z+4
Also die zusätzlichen komplexen Lösungen
z2 = 1 + i√3; Re(z2) = 1, Im(z2)=√3
z3 = 1 - i√3; Re(z3) = 1, Im(z3) = -√3
