Untersuchung verschiedener Funktionen auf Surjektivität und Injektivität

Question

Kann mir jemand bei der Beantwortung folgender Aufgabe helfen?  

Seien f: A → B und g: B → C Funktionen. Zeigen oder widerlegen Sie:

1. f: A → f(A) ist stets surjektiv

2. f. A → f(A) ist stets injektiv

3. (f surjektiv ∧ g surjektiv) ⇒ g ° f surjektiv

4. (f injektiv ∧ g injektiv) ⇒ g ° f injektiv

Folgendes habe ich mir schon dazu überlegt:

Surjektivität bedeutet, dass eine Funktion rechtstotal ist. Das bedeutet, dass es für jedes f(A) ein Element aus A gibt. So weit würde das Ganze stimmen. Allerdings kann man nicht sicher sagen, dass es nur genau ein Element für aus A gibt, für das f(A) zutrifft. Womit dann die Rechtseindeutigkeit der Funktion verletzt wäre. 1. ist also meiner Meining nach falsch. Recht das, oder muss ich dazu noch mehr schreiben?

Bei der Injektivität kann man dann ja analog vorgehen. Injektivität bedeutet, dass eine Funktion linkseindeutig ist. Es gebe also ein A für das es verschiedene f(A) geben würde. Dies würde sich aber doch mit der Rechtseindeutigkeit, die benötigt wird, damit es sich um eine Funktion handelt, beißen, oder? Bei dieser Überlegung bin ich mir allerdings nicht ganz sicher.

Und was ich mit der 3. und 4. machen soll, weiß ich leider gar nicht...

Answer 1

Zu 1.

Das ist natürlich wahr, denn f(A) ist das Bild von f, also per Definition alle \(b\in B\), zu denen es ein \(a\in A\) gibt, s.d. \(f(a)=b\). Jede Abbildung \(f:A\rightarrow B\) kann man durch Einschränkung auf das Bild von f surjektiv machen

Zu 2.

Das ist natürlich falsch, denn eine Einschränkung des Zielbereiches auf das Bild von f beeinflusst die Injektivität nicht im geringsten, denn alle \(b\in B\), die mehr als ein Urbild haben liegen insbesondere in f(A)

Zu 3.

Das sollte stimmen, denn \((g\circ f)\)(A)=g(f(A))=g(B)=C, nach Definition der Surjektivität

Zu 4.

Das sollte auch stimmen, denn Ker(\(g\circ f\))=\(\{x\in A| (g\circ f)(x)=0\}=\{x\in A| g(f(x))=0\}=\{x\in A| f(x)=0\}=\{0\}\)