Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind

Question

Hallo, ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe. Ich finde einfach keinen Lösungsansatz.

Seien a, b, c und sei
$$ A=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ c & b \end{array}\right) $$
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1) \( \langle A x, x\rangle>0 \) für alle \( x \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \)
2) \( a>0 \) und \( \operatorname{det}(A)>0 \) Hierbei ist \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das euklidische Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \)

Comments

Sollte es nicht x∈ℝ²\{(0,0)} heißen?

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Nein, es ist der Originaltext der Aufgabe.

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ℝ² ist nach meinem Wissen eine Menge von Zahlenpaaren.      

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Deshalb 0 und nicht 0.

Answer 1

Zumindest für 2) ==> 1) hätte ich was:  Wenn man

⟨Ax,x⟩>0    für x = (u,v)^T umformt bekommt man

$$<\begin{pmatrix} au+cv\\cu+bv \end{pmatrix};\begin{pmatrix} u\\v \end{pmatrix}>$$

   =au^2 +cuv + cuv + bv^2

   =au^2 +2cuv + bv^2    wegen a>0

   =a(u^2 +2cuv/a + bv^2 /a )

Dann quadr. Ergänzung

=a(  u^2 +2cuv/a  +  c^2 * v^2 / a^2   -  c^2 * v^2 / a^2 + bv^2 / a )

=a(  u^2 +2cuv/a  +  c^2 * v^2 / a^2   -  c^2 * v^2 / a^2 + bav^2 / a^2 )

=a( ( u +cv/a )^2      -  (  c^2 * v^2 / a^2 -  bav^2 / a^2 )   )

=a( ( u +cv/a )^2   +     (   bav^2 / a^2    -  c^2 * v^2 / a^2   )    )

=a( ( u +cv/a )^2   +   v^2 *  (   ba - c^2 )  / a^2      )

=a( ( u +cv/a )^2   +   v^2 *  det(A)  / a^2      )

wegen der Quadrate und a>0 und det(A)>0 ist also alles positiv.

Rückrichtung ?