Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind (Stochastik & Zufallsgrößen)

Question

Hallo zusammen :)

Ich sitze vor folgender Aufgabe:

Gegeben seien Zufallsgrößen X, X₁, X₂, ... , X_n, ... . Beweisen Sie, dass die folgenden vier Aussagen äquivalent sind:

$$\text{ a) }\mathbb{P}\text{ }(X_{n} \rightarrow X) = 1\text{, }$$

$$\text{ b) }\mathbb{P}\text{ }(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty {\left\{|X_{k}-X|\geqε \right\}}) = 0 \text{ für alle }ε > 0\text{, }$$

$$\text{ c) }\mathbb{P}\text{ }(\bigcup_{m=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty {\left\{|X_{k}-X|\geq\frac{1}{m} \right\}}) = 0\text{, }$$

$$\text{ d) }\mathbb{P}\text{ }(\bigcap_{m=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty {\left\{|X_{k}-X|<\frac{1}{m} \right\}}) = 1\text{, }$$

Ich weiß, dass es vermutlich am einfachsten wäre, folgendes zu zeigen:

Aus a) folgt b), aus b) folgt c), aus c) folgt d) und aus d) folgt a).

Leider habe ich ansonsten keinen Anhaltspunkt. Daher wäre es super, wenn mir einer helfen könnte :)

Viele Grüße :)

Answer 1

Ich nehme mal an, in a) ist gemeint, dass \( X_{ n} \) fast überall punktweise zu \( X\) konvergiert. In diesem Fall ist die Menge an Punkten, für welche
\( X_{ n} \) nicht zu \( X\) konvergiert, eine Nullmenge. Wie können wir diese Menge in Mengenschreibweise beschreiben, nennen wir sie mal \( A\)? Nun ja, es sind ja jene Punkte, welche die Negation
der Definition von punktweiser Konvergenz erfüllen, also \( \omega\) mit
\(\begin{aligned} \forall N> 0 \: \exists n \geqslant N\colon \left| X_{ n}( \omega )  - X( \omega )  \right| \geqslant \varepsilon \end{aligned}\)
für irgendein \( \varepsilon > 0\). Quantoren kann man dann in Mengenoperationen umwandeln: All-Quantoren werden zu einem Schnitt, Existenz-Quantoren zu einer Vereinigung, also
\(\begin{aligned}   A= \bigcap_{ N\geqslant 1}^{ } \bigcup_{ n \geqslant N}^{ } \{\omega \in \Omega \mid \left| X_{ n} ( \omega ) - X( \omega ) \right| \geqslant \varepsilon \} .\end{aligned}\)
Nun ist \( A\) eine Nullmenge, also hat sie Wahrscheinlichkeitsmass Null, wie in b) gefordert. Um c) aus b) zu gewinnen, kannst du Sigma-Additiviät auf die äusserste Vereinigung
anwenden. Um d) aus c) zu gewinnen, berechne die Differenz von \( \Omega \) und der Menge in Frage.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe, dann mache ich mich mal ans Werk! :)