Zeigen Sie, dass die Zahl 2–√+2–√−5 irrational ist

Question

Zeigen Sie, dass die Zahl \( \sqrt{2}+\sqrt{2}-5 \) irrational ist.

Answer 1

Betrachte die Gleichung $$x^2+10x+17=0$$

Comments

soll ich das jetzt nach der Pq formel lösen?

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Nein, du musst begründen, warum diese Gleichung keine rationalen Lösungen hat.

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Ich habe das jetzt aufgelöst.

-5+2\( \sqrt{2} \)

-5-2\( \sqrt{2} \)

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Die erste der beiden Zahlen soll auf Rationalität überprüft werden. Verwende dazu den Satz über rationale Nullstellen von Gauß. Das ist hier besonders einfach, da der Leitkoeffizient 1 ist und das Absolutglied eine Primzahl:

Wenn der Leitkoeffizient \(a_{n}\) des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied \(a_{0}\) teilt.

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was hat jetzt deine Gleichung mit meiner Aufgabe zu tun?

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was hat jetzt deine Gleichung mit meiner Aufgabe zu tun?

Die Zahl \(\left(2\sqrt{2}-5\right)\) soll auf Rationalität überprüft werden. Sie ist Nullstelle von \(x^2+10x+17\), also eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Dieses Polynom kann nach dem Satz über rationale Nullstellen allenfalls rationale Nullstellen aus der Menge \(\left\{-17,-1,+1,+17\right\}\), also den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes, hier also der Primzahl \((-17)\), besitzen. Diese Kandidaten lassen sich alle durch Nachrechnen ausschließen, daher besitzt das Polynom keine rationalen Nullstellen und die zu überprüfende Zahl kann nicht rational sein.

Answer 2

Ansatz:

$$ 2\sqrt{2} = \frac{a}{b} + 5$$

Comments

Ich weiß nicht, worauf du hinaus willst?

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Beweis durch Widerspruch.

Annahme, dein Term ist rational (a/b).

Damit wäre, etwas umgeformt, Wurzel 2 ein Bruch, was nicht sein kann,

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Und wie zeigt man, dass \( \sqrt{2} \) nicht rational ist?

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Das wusste schon Euklid.

Google mal.

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Zu wurzel 2 gibt es im internen gefült 1 mio beispiele und videos

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Die obigen Umformungen sind trivial.

Der wesentliche Teil des Beweises ist, dass die Wurzel von 2 nicht rational ist.

Es genügt zu zeigen, dass die Wurzel von 2 nicht rational ist.

Answer 3

\( \sqrt{2}+\sqrt{2}-5 \)

= (2 * √2 ) - 5 ) = z

So weit schon verstanden?

Indirekter Beweis von "irrational":

Nimm an, das z ist rational. D.h. es gibt geeignete a und b so dass

(2 * √2 ) - 5 = a/b             | nun links Wurzel von zwei isolieren und rechts einen Term bauen, von dem du sicher weisst, dass er rational ist, wenn a/b rational ist. 

.                        | + 5

2 * √2   = a/b  + 5      Rechts gilt: Summe von rationalen Zahlen ist rational.

 √2 = ( a/b  + 5)  / 2      Rechts gilt: Quotient von rationalen Zahlen ist rational, da Divisor 2 ≠ 0.

Links steht nun aber eine nichtrationale Zahl (vgl. Skript). Damit ist der gesuchte Widerspruch gefunden.

Comments

Ich denke, der wesentliche Teil dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass \( \sqrt{2}\) nicht rational ist.

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Das kannst du in jedem Skript und in der Wikipedia nachlesen / abschreiben.

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Das gilt für den Großteil der hier gestellten Fragen und übrigens auch für die elementaren Umformungen, die dem interessanten Teil, nämlich dass die Wurzel aus 2 nicht rational ist, vorhergehen.

Answer 4

Hallo,

$$\sqrt{2}+\sqrt{2}-5=2\sqrt{2}-5$$

Du weist sicherlich, dass 2sqrt(2) irrational ist und -5 rational. Was folgt für deren Summe?