Kann man da nicht einfach sin(3/2 * pi) = -1 -> 3/2 * pi = arcsin(-1) machen?
Laut dieser Frage ist dir in Grundzügen klar, was die Funktion arcsin machen soll: sie soll irgendwie das Gegenteil von sin sein. Genau diese Idee hatte auch der Erfinder von arcsin.
Man hätte jetzt natürlich einfach definieren können, dass arcsin(-1) = 3/2·π ist. Die Gegenteil-Funktionalität wäre damit erfüllt gewesen, weil
sin(3/2·π) = -1
ist. Das hat man aber aus bestimmten Gründen nicht gemacht. Den Grund erläutere ich jetzt.
1. Die Sinusfunktion ist nicht injektiv.
Ist y = sin(π/2 + x), dann ist auch y = sin(π/2 - x). Möchte man also eine Funktion arcsin definieren, dann muss man sich entscheiden, ob
arcsin(y) = π/2 + x
oder
arcsin(y) = π/2 - x
(oder keines von beiden) sein soll.
Das ist ungefähr so wie mit der Wurzelfunktion: man hat definiert, dass √9 = 3 ist, obwohl auch die Definition √9 = -3 möglich gewesen wäre, weil ja auch (-3)2 = 9 ist. Man hat sich darauf geeinigt, dass √x die nicht-negative Zahl y ist, für die y2 = x ist.
2. Die 0 soll zum Wertebereich von arcsin gehören
Es ist sin(0) = 0. Weil 0 so eine wichtige Zahl ist, ist es deshalb wünschenswert, dass umgekehrt auch
arcsin(0) = 0
ist, dass also 0 zum Wertebereich von arcsin gehört.
Natürlich ist auch sin(π) = 0, aber deshalb arcsin(0) = π zu definieren ist krank (Ohne Beleidigung der Andersdenkenden).
3. arcsin soll keine Sprungstellen haben
Aus 1. und 2. folgt, dass man als Wertebereich von arcsin einen Teil des Definitionsbereiches von sin haben möchte, auf dem sin bijektiv ist und der die 0 enthält. Ein solcher Bereich ist das Intervall [-π/2, π/2].
Man hätte als Wertebereich von arcsin auch [0, π/2] ∪ (π, 3/2·π] wählen können. Aber dann hätte arcsin eine Sprungstelle bei 0. Das wäre unschön.
Fühle mich gerade voll blöd, dass ich so etwas einfaches nicht verstehe...
Die drei Punkte, die ich erwähnt habe, sind nicht notwendig, um zu einer sinnvollen Definition von arcsin zu kommen. Dahingehend ist die Definition von arcsin in gewisser Weise willkürlich. Punkt 2. und 3. sind aber praktikabel. Deshalb hat man die Definition von arcsin so getroffen, wie sie ist. Und wenn diese beiden Punkte gelten sollen, dann hat man wegen Punkt 1. keine andere Wahl. Das Thema ist also gar nicht so einfach, wie du dir es vielleicht vorgestellt hast.
