Bestimmung der Differenzierbarkeit von x^x und x^(1/x)

Question

Ich brauche wieder eure Hilfe bei einer Aufgabe. Diese lautet:

Entscheiden Sie Differenzierbarkeit und berechnen Sie ggf. die Differentiale von \(f,g: I:=(0;\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^x\) und \(g(x)=x^{(1/x)}\). Berechnen Sie jeweils Supremum und Infimum von \(f(I)\) und \(g(I)\).

Meine Idee:

Um die Differenzierbarkeit von \(x^x\) zu zeigen dachte ich mir benutze ich eventuell den Satz über Summe, Produkt und Verkettung von differenzierbaren Funktionen und zeige so, dass \(x^x\) als verkettung der konstanten funktion und der exponentialfunktion, welche beide Diffbar sind, auch diffbar ist.

Sowas wie: Kettenregel besagt, dass wenn die Funktion f(x)=... eine Verkettung von diffbaren Funktionen ist (Die verketteten Funktionen), dann folgt daraus diffbarkeit der "verketteten Funktion".Ist das richtig so?.

Die selbe Argumentation hätte ich auch bei \(g(x)\).

Zudem habe ich auch noch ein Problem das Inf/sup, der beiden Funktionen über dem Intervall, zu bestimmen.

 Ich bedanke mich schon einmal im Voraus, falls meine Ideen doch zu nichts führen bin ich offen für weitere erläuterungen und Ansätze. Denn ein anderer Weg die Differenzierbarkeit zu Zeigen fällt mit nicht ein.

Danke sehr

Die 2. Ableitung

Comments

x^x
e^(ln(xhochx))
e hoch l [n ( x hoch x ) ]
e hoch [ x mal ln ( x ) ]

Allgemein
( e ^term ) = e ^term * ( term ´ )
term = x mal ln ( x )
term ´ = 1 * ln (x ) + x * 1/x = ln ( x ) + 1
( x^x `) = (x ^x) * ( ln (x ) + 1 )

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Denn eine Ableitung zu \(f(x)=x^x\) hätte ich schon. Mir fehlt mnur noch die Begründung/Beweis

Danke

Die 2. Ableitung

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hast du hier die Funktion mit \(e^{ln(x)}\) erweitert?

Danke sehr

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Reivht es dann nachn der "erweiterung" meine Begründung zur verkettung zu benutzen?

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oder muss ich genauer auf die Funktionen \(e^...\) und \(ln(...)\) eingehen und sagen, dass

Die Exponentialfunktion und Die Logarithmusfunktion auf \(\mathbb{R}^+\) differenzierbar sind. Und dann mit der Begründung wie oben:

" Kettenregel besagt, dass wenn die Funktion f(x)=... eine Verkettung von diffbaren Funktionen ist (Die verketteten Funktionen), dann folgt daraus diffbarkeit der "verketteten Funktion" ".

Begründen?

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Nochmal eine Formalere Begründung:

zu \(x^x\):

Die Ableitungsregeln besagen: Wenn zwei Funktionen an einer Stelle differenzierbar sind, dann sind bestimmte Verknüpfungen dieser Funktionen (z.B. Produkt, Verkettung, Summe) an dieser Stelle differenzierbar. in diesem Fall wäre es doch die Verkettung von der Exponentialfunktion und Der Logarithmusfunktion auf \(\mathbb{R}^+\). Von diesen Wissen wir, dass sie auf \(\mathbb{R}^+\) differenzierbar sind, damit ist auch nach Kettenregel die verkettung \(x^x\) differenzierbar auf der Domäne.

zu \(x^{(1/x)}\):

Die Selbe begründung, nur mit existierendem Beweis der Potenzregel? zum Ableiten und indirektem beweis der Differenzierbarkeit auf der Domäne?

Tut mir leid für das nächtliche gespame

Danke

Die 2. Ableitung

Answer 1

Interessant ist die Intervallgrenze x=0.

Da ist x^x definiert, aber die Ableitung nicht (geht gegen minus unendlich).

x^(1/x) ist dort nicht definiert, aber die Ableitung geht gegen Null.

Comments

Den Fall \(x=0\) brauche ich mir doch nicht anschauen, da die Domäne auf \(\mathbb{R}^+\) ist oder?

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Stimmt. (Interessant  ist es aber trotzdem.)

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Reicht hierbei meine begründung von Oben?

Grüße

Die 2. Ableitung

Answer 2

Wir können gern meine Lösung zu
x ^x schrittweise durchgehen.

Der erste Kniff ist
term = e hoch ( ln (term) )
umzuwandeln

Solltest du Fragen haben dann bitte
nicht ganz soviel auf einmal.

Comments

Danke sehr! Somit wäre es doch:

\(f(x)=x^x=e^{x ln(x)}\)

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Wäre der nächste Schritt die Ableitung zu bilden?, oder erst auf die Diffbarkeit der einzelnen "Teile" auf \(\mathbb{R}^+\) einzugehen?

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Richtiig.
Die Ableiitung von e ^term ist
e^term * ( term ´ )

( term ) ´ nach der Produktregel
( x * ln(x) ) ´= 1 * ln(x) + x * 1/ x = ln(x) + 1

( x ^x ) ´ = x ^x * ( ln ( x) + 1 )

bezieht sich auf deinen ersten Kommentar

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Ich habe mir die Funktion x ^x gerade
einmal plotten lassen.

Der Def Bereich scheint 0 .. plus unendlich zu
sein
Der Def der Ableitungsfunktion
größer null .. unendlich

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Muss man nun im nächsten Schritt, nachdem man dann jetzt die Ableitung gebildet hat, Argumentieren warum die Funktion Differenzierbar ist?

Also hier:

Mit der erweiterung der Funktion mit \(e^{x ln(x)}\) und der Ableitung durch die Produktregel ist grob gezeigt, dass die Funktion keine def. lücke im R+ aufweist! \(e^x \), sowie \(e^{ln(x)}\). Lässt sich damit dann die Diffbarkeit begründen??

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und das dan so ähnlich für den Fall \(g(x) = x^{1/x}\)?.

Falls ja würde man hier die selbe begründung benutzen und wie würde ich für beide Funktionen das Infimum und das Supremum bestimmen?

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Die Funktion x ^x ist  in x = 0 nicht
differenzierbar.
Derselbe Fall wie
wurzel ( x ) hat bei x = 0 einen Funktionswert.
( wurzel(x) ) ´ = 1 / (2 * wurzel ( x ) ) für x = 0
ergibt sich 1/0 . in x = 0 nicht differenzierbar.

Den mathematischen Beweis warum x^x * ( ln(x) + 1 ) im Definitionsbereich vollständig  differenzierbar ist kann ich dir
leider nicht sagen.

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Hier noch die Ableitung  für x ^(1/x)

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bei beiden Funktionen muss doch nur \(\mathbb{R}^+\) als Domäne betrachtet werden oder verstehe ich die Aufgabe falsch?

Kann man dann sagen, dass e^.. und ln(...) auf \(\mathbb{R}^+\) Differenzierbar sind. Das wurde schon bewiesen sozusagen. Und dann, wie im Kommentar:

"Muss man nun im nächsten Schritt, nachdem man dann jetzt die Ableitung gebildet hat, Argumentieren warum die Funktion Differenzierbar ist?"

Begründen?

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Danke Sehr für die Veranschaulichung :)

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habe weiter recherchiert gehabt und nehme glaube ich die Begründung von oben.

Eine weitere Fällt mir nicht ein. Danke für die Hilfe.

Eine Frage hätte ich da noch:

Wie bestimmt man das Infimum und Supremum von \(f(I)\) mit \(f(x)=x^x \)?

So eine Fragestellung stellt für mich ein riesen Problem dar, denn ich weiß die Funktion ist durch das Intervall "beschränkt". Und sicherlich wird, da man nur positive \(x \) eingeben kann und es ein offenes Intervall ist, es kein Maximum geben, d.h ich würde sagen das Supremum ist \(\infty \). Für das Infimum genauso. Es existiert kein Miinimum, die 0 ist eine untere schranke. Sowohl beim Supremum, als auch beim Infimum habe ich Probleme damt zu zeigen/begründen warum es nun das Inf. oder sup. der Funktion ist.

Danke für die Hilfe

Die 2. Ableitung

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Bei Inf und Sup mußt du nachschauen
Funktionswert an den Grenzen des Def-Bereichs
f ( x ) = x^x
f ( 0 ) = 0 ^0 = 1
lim x -> unendlich = unendlich
Dann muß man an eventuell vorhandenen
Polstellen nachsehen. Hier nicht vorhanden.
Und die erste Ableitung bilden und nachsehen
ob ein Min oder Max vorhanden ist. Hier auch nicht.

Nach oben gibt es kein Suprenum
Nach unten ist das Infinum 1

Schau unter
https://www.youtube.com/watch?v=HdPT8R3qOhM
einmal nach.

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Ich habe mir die Funktion x ^{x} gerade einmal plotten lassen.

und dann

Und die erste Ableitung bilden und nachsehen ob ein Min oder Max vorhanden ist. Hier auch nicht.

veranlasst mich zu dem Rat :  Lies die Bedienungsanleitung deines Plotters

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Danke sehr für deine Hilfe

Grüße

Die 2. Ableitung

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wenn ich in meiner rechnung die 1. Ableitung gleich null setze und die 2. Ableitung > 0

so ist dies doch das Minimum oder?

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ich habe eine Extremstelle am Punkt \(x_e= 1/e\) ist das dan das minimum??

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Das hat sich mit dem Video auch geklärt danke sehr für eure HIlfe!!

Grüße

Die 2. Ableitung

Answer 3

$$\begin{aligned} f(x) &= x^x \\[6pt] \ln\left(f(x)\right) &= x\cdot \ln\left(x\right) \\ \dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x) &= \ln(x)+1 \\ f'(x) &= \left(\ln\left(x\right)+1\right) \cdot f(x) \\[6pt] f'(x) &= \left(\ln\left(x\right)+1\right) \cdot x^x \end{aligned}$$Zunächst wird die gegebene Funktionsgleichung logarithmiert, um aus der rechten Seite ein Produkt zu machen. Danach werden beide Seiten abgeleitet, die linke nach der Kettenregel, die rechte nach der Produktregel. Zuletzt wird nach der gesuchten Ableitung umgestellt und der Funktionsterm eingesetzt.

(Ähnlich hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Beispiel_2)

Das kannst du ja mal mit g versuchen.

Comments

Probiere es mak für \(g(x)=x^{(1/x)}\).

Mit der Potenzregel folgt:

   \(x^{(1/x)} \cdot (ln(x) \cdot 1/x)'\)

= \(x^{(1/x)} \cdot (ln(x)/x)'\)

Nun folgt mit Quotientenregel:

= \(x^{(1/x)} \cdot   ( (ln(x)'\cdot x - ln(x) \cdot x' )/x^2)  \)

= \( x^{(1/x)-2}  ((1/x) x -1ln(x)) \)

Somit ist das Ergebnis:

\( x^{(1/x)-2} ( 1- ln(x)) \)

so?

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Nein, so nicht. Du musst zunächst die Funktionsgleichung logarithmieren und dann diese insgesamt (also beide Seiten) ableiten.

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Alles klar danke dir.

Mache das Morgen früh gleich

Wenn es dir nichts ausmacht würde ich es wieder hier rein senden.

Grüße Die 2. Ableitung