Aufgabe:
Z6.3. Gegenbeispiel zu Fubini
$$ \text { Sei } f:[0,1]^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{x^{2}} & \text { für } 0<y<x \\ -\frac{1}{y^{2}} & \text { für } 0<x<y \\ 0 & \text { für } x=y, x y=0 \end{array}\right. $$
Berechnen Sie das Doppelintegral von \( f \) auf \( [0,1] \times[0,1] \) für beide Integrationsreihenfolgen und erklären Sie das Ergebnis.
LösuNG:
Man erhält
$$ \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} x \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} y f(x, y)=\int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} x\left(\int \limits_{0}^{x} \mathrm{d} y \frac{1}{x^{2}}-\int \limits_{x}^{1} \mathrm{d} y \frac{1}{y^{2}}\right)=\int \limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{x}+\left[\frac{1}{y}\right]_{x}^{1}\right) \mathrm{d} x=1 $$
und
$$ \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} y \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} x f(x, y)=\int \limits_{0}^{1} \mathrm{d} y\left(\int \limits_{0}^{y} \mathrm{d} x\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)+\int \limits_{y}^{1} \mathrm{d} x \frac{1}{x^{2}}\right)=\int \limits_{0}^{1}\left(-\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{y}\right]_{x}^{1}\right) \mathrm{d} x=-1 $$
Problem:
Könnte mir jemand erklären wie das integral aufgeteilt wurde. Also warum die Integralgrenzen dort so sind und warum dann einmal der eine and dann der andere Fall eingesetzt wurden. Ich komme mit der fallunterscheidung hier nicht richtig zurecht.
Eine Antwort wäre wirklich sehr hilfreich und nett
