Aufgabe:
\( 8.3 \quad(8 \text { Punkte }) \) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden AWA:
$$ \left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 x_{1}+2 x_{2} \\ 2 x_{1}+x_{2} \end{array}\right) \quad, \quad\left(\begin{array}{c} x_{1}(0) \\ x_{2}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) $$
(Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass \( \left.\Phi(t)=e^{t A} \text { ein Fundamentalsystem für } x^{\prime}(t)=A x(t) \text { ist. }\right) \)
Problem/Ansatz:
Ich habe das meiste schon berechnet, komme jedoch an einer Stelle nicht weiter.
EIgenwerte: 5 und 0
Eigenvektoren:
\( \begin{pmatrix} -1/2\\1 \end{pmatrix} \) für EW: 0
\( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \) für EW: 5
Jordanmatrix: \( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
T= \( \begin{pmatrix} 2 & -1/2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
T-1 = 1/5 \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \)
etA = T*etJ* T-1 = 1/5 (4* e5t+1) (2* e5t-2) = Φ(t0)
(2* e5t-2) (e5t+4)
Φ(t0)= Φ(0)= 1/5 \( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \)= Id
Das heißt Φ(t0)-1 = Id
Ab hier weiß ich nicht genau wie ich weiterrechnen soll.
