Aloha :)
Deine Eigenwerte kann ich bestätigen:$$\lambda_1=-2+i\quad;\quad\lambda_2=-2-i$$Die Eigenvektoren erhältst du duch Lösen der Gleichung$$\left(\begin{array}{r}-3-\lambda & 1\\-2 & -1-\lambda\end{array}\right)\cdot\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{0}$$
Für \(\lambda_1=-2+i\) heißt das:$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline -3-(-2+i) & 1 & 0 & \text{vereinfachen}\\-2 & -1-(-2+i) & 0 & \text{vereinfachen}\\\hline -1-i & 1 & 0 & :(-1-i)\\-2 & 1-i & 0 & \\\hline 1 & -\frac{1}{1+i} & 0 & \\-2 & 1-i & 0 & +2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & -\frac{1}{1+i} & 0 & \\0 & 1-i-\frac{2}{1+i} & 0 & \text{vereinfachen}\\\hline 1 & -\frac{1}{1+i} & 0 & \\0 & 0 & 0 &\\\hline \end{array}$$Als Bedingung für den Eigenvektor \(\vec v_1\) haben wir also$$x_1-\frac{1}{1+i}x_2=0\quad\Leftrightarrow\quad(1+i)x_1-x_2=0\quad\Leftrightarrow\quad x_2=(1+i)x_1$$$$\Rightarrow\quad\vec v_1=\binom{1}{1+i}$$
Für \(\lambda_1=-2-i\) heißt das:$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Operation}\\\hline -3-(-2-i) & 1 & 0 & \text{vereinfachen}\\-2 & -1-(-2-i) & 0 & \text{vereinfachen}\\\hline -1+i & 1 & 0 & :(-1+i)\\-2 & 1+i & 0 & \\\hline 1 & \frac{1}{-1+i} & 0 & \\-2 & 1+i & 0 & +2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & \frac{1}{-1+i} & 0 & \\0 & 1+i+\frac{2}{-1+i} & 0 & \text{vereinfachen}\\\hline 1 & \frac{1}{-1+i} & 0 & \\0 & 0 & 0 & \\\hline \end{array}$$Als Bedingung für den Eigenvektor \(\vec v_2\) haben wir also$$x_1+\frac{1}{-1+i}x_2=0\quad\Leftrightarrow\quad(-1+i)x_1+x_2=0\quad\Leftrightarrow\quad x_2=(1-i)x_1$$$$\Rightarrow\quad\vec v_2=\binom{1}{1-i}$$
