Eigenvektoren richtig aufschreiben

Question

Angenommen, man hat bereits die Eigenwerte berechnet und ist nun dabei die entsprechenden Eigenvektoren auszurechnen.

Als Ergebnis kommt man bei einem eingesetzten Eigenwert auf z.B.:

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Hier wäre jetzt x₂ beliebig wählbar.

Nun stellt sich mir die Frage, ob ich zwingend so das ganze aufschreiben muss:

$$(1) \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow x_2=t; x_1=\frac{t}{4}$$

$$(2)\rightarrow v_1=\begin{pmatrix} \frac{t}{4}\\t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\1\end{pmatrix}$$

$$(3) \text{Ein möglicher Vektor wäre also bei t=1: }v_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}\\1 \end{pmatrix}$$

Oder, ob ich bei x₂ = t dieses auch gleich auf x₂ = t = 1 setzen kann und somit (2) überspringe und direkt auf (3) gehe. Reicht das (bzw. ist das immer noch richtig), oder ist (2) essenziell wichtig, um zu zeigen, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt und man mit (3) eben nur eine dieser gebildet hat?

Answer 1

Da es zu jedem Eigenwert einen Eigenraum gibt, ist es sinnvoll, diesen Raum auch direkt anzugeben. Man schreibt dann \(\mathrm{Eig}_{\lambda}=\langle \binom{1}{4}\rangle\). Die Zwischenschritte kann man sich also sparen.

Answer 2

Es gibt immer unendlich viele Eigenvektoren und üblicherweise gibt in diesem Fall nur einen an, also direkt zu (3). Bitte ohne rechnen, diesen EV darf man auch durch Hinsehen finden.

Und üblich ist auch, auf Brüche zu verzichten, also hier z.B. \(x=\binom14\).