Zeige, dass ein Polynom p Element R[t] vom Grad n-1 gibt, sodass Adj(A) = p(A)

Question

Aufgabe:

Hallo Leute, ich soll zeigen, dass

Ist R ein komm. Ring mit 1 (1 ungleich 0), n>= 2 und A ist Element R n,n invertierbar. Nun soll ich zeigen, dass es ein Polynom p element R[t] vom Grad n-1 gibt, sodass Adj(A) = p(A) ist. Ebenso soll ich daraus folgern dass A^-1 = q(A) für ein Polynom q Element R[t] vom Grad n-1 gilt

Problem/Ansatz:

Nur leider habe ich weder einen Lösungsansatz noch eine Idee... vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen

Answer 1

Hallo,

betrachtet man das charakteristische Polynom von \( A \),

\( p(\lambda) = \sum_{i=0}^n c_i \lambda^i = c_0 + f(\lambda) \lambda \)

mit \( \deg(f) = n - 1 \), so findet man zunächst

\( c_0 = p(0) = (-1)^n \det(A) \).

Wegen \( p(A) = 0 \) (Satz von Cayley-Hamilton) ist

\( (-1)^n \det(A) = - f(A) A \),
\( \det(A) = (-1)^{n-1} f(A) A \),
\( \det(A)A^{-1} = (-1)^{n-1} f(A) \).

Für die Adjunkte weiß man aber

\( \mathrm{adj}(A) = \det(A) A^{-1} \).

Somit hat man über

\( \mathrm{adj}(A) = (-1)^{n-1} f(A) \)

die Adjunkte von \( A \) als ein Polynom in \( A \) vom Grad \( n - 1 \) dargestellt. Mit

\( A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)} = q(A) \)

finden wir die inverse Matrix von \( A \) als ein Polynom \( q \) in \( A \) vom Grad \( n - 1 \).

Grüße

Mister

Quelle: https://math.stackexchange.com/questions/2911717/can-the-adjugate-matrix-of-a-be-expressed-as-a-polynomial-of-a