Flächeninhalt maximieren Tangentenschar

Question

Aufgabe:

Die Grundgleichung: f_a(x)=a/(0,025x-0,075)-10

Ich habe eine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a und muss den Flächeninhalt der im ersten Quadranten eingeschlossenen Fläche maximieren.

t_a(x)=-5/(2a)x+(10a+7,5)/a

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich das Integral über [0;4a+3] bilden muss um davon dann die Ableitung null zu setzen. Ich komme aber nach einigem Rumrechnen nicht auf das Ergebnis.

Answer 1

Die Fläche die die Tangente bildet im ersten Quadranten ein Dreieck. Da braucht man keine Integralrechnung.

ta(x) = - 5/(2·a)·x + (10·a + 7.5)/a = 0 --> x = 4·a + 3

ta(0) = (10·a + 7.5)/a

A(a) = 1/2·(10·a + 7.5)/a·(4·a + 3) = 20·a + 45/(4·a) + 30

A'(a) = 20 - 45/(4·a^2) = 0 --> a = ± 3/4 → Die negative Lösung entfällt.

Skizze

~plot~ -5/(2(1))x+(10(1)+7.5)/(1); -5/(2(2))x+(10(2)+7.5)/(2); -5/(2(3/4))x+(10(3/4)+7.5)/(3/4);[[0|28|0|21]] ~plot~

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Einfacher ist es, die Fläche des Dreiecks zu berechnen: g=4a+3 und h=\( \frac{10a+7,5}{a} \).

Dann ist A=\( \frac{g·h}{2} \) =20a+45/4a+30.

Nullstellen der ersten Ableitung A' sind a_1/2=±3/4.