f(x, y)=x^{2} y^{2}. Minimum und Maximum von f auf B =... bestimmen

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Sei f: } \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text{ gegeben durch } f(x, y)=x^{2} y^{2} \text{. Bestimmen Sie Minimum und Maximum von f auf }\\ B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \text{. Wo werden Minimum und Maximum angenommen?}$$

Answer 1

Da der Punkt (0;0) zu B gehört und x^2 * y^2 nie negativ wird, ist 0 das Minimum und wird

im allen  Punkten angenommen, die auf einer der Koordinatenachsen liegen.

Comments

wird im Punkt (0;0) angenommen.

wird auf den Koordinatenachsen angenommen.

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Ach ja, danke. Korrigiere ich.

Answer 2

Falls B: = {(x,y) Element R^2 | x^2 + y^2 ≤ 1}

also Einheitskreisscheibe ist, wird in den vier Punkten P(± 1/√2 | ± 1/√2) der maximale Wert f(x,y) = 1/2 * (1/2) = 1/4 angenommen.

Comments

Formal muss man das Innere von B und den Rand von B separat untersuchen.

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Warum genau denkst du? Meinst du, dass am Rand die Ableitung nicht Null sein muss (?) Das stimmt.

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Schau mal hier, man sieht ganz klar, das sowohl Maximum und Minimum auf dem Rand liegen. Die normale untersuchung würde nur den Nullpunkt als lokales Minimum anzeigen.