Ich habe hier eine Aufgabe mit mehreren Teilaufgaben vor mir liegen. Bei zwei von denen bräuchte ich Hilfe! :-)
Gegeben ist \( \vec{f}: \mathbb{R}^{+} \times(-\pi ; \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \) mit
$$ \vec{f}(r, \varphi)=(x, y)=(r \cos \varphi, r \sin \varphi) $$
1.
Untersuchen Sie nun \( \vec{f} \) auf totale Differenzierbarkeit mit Hilfe der Jacobi-Matrix.
2.
Untersuchen Sie die Transformationsmatrix von \( \left\{\vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}\right\} \) nach \( \left\{\vec{e}_{r}, \vec{e}_{\varphi}\right\} \)
$$ R(r, \varphi)=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right) $$
auf Invertierbarkeit: Für welche Werte von \( r \) und \( \varphi \) ist \( R(r, \varphi) \) invertierbar bzw. nicht invertierbar. Geben Sie im Fall von Invertierbarkeit die inverse Matrix \( R^{-1}(r, \varphi) \)
an.
