Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung um (0, 0, 0) der Funktion :

f:R^3 → R , f(x,y,z) := (1 − z) exp(x − y^2)

bis einschlieÿlich der Terme zweiter Ordnung.

Problem/Ansatz:

… Wie muss ich es lösen . Ich habe vom Anfang her die Taylor-Entwicklung gar nicht verstanden. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Die Taylorreihe lautet:$$f(\vec x)=e^{(\vec x-\vec x_0)\vec \nabla}f(\vec x_0)$$Hier ist speziell \(\vec x_0=\vec 0\), sodass wir etwas weniger Arbeit haben. Bis zur 2-ten Ordnung können wir die \(e\)-Funktion schnell aufschreiben:$$f(\vec x)=e^{\vec x\vec \nabla}f(\vec 0)=\left[(\vec x\vec\nabla)^0+(\vec x\vec\nabla)^1+\frac{1}{2}(\vec x\vec\nabla)^2\right]f(\vec 0)$$$$\phantom{f(\vec x)}=\left[1+x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z+\frac{1}{2}\left(x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z\right)^2\right]f(\vec 0)$$$$\phantom{f(\vec x)}=f(\vec 0)+(x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z)f(\vec 0)$$$$\phantom{f(\vec x)}+\frac{1}{2}\left(x^2\partial_{xx}+y^2\partial_{yy}+z^2\partial_{zz}+2xy\partial_{xy}+2xz\partial_{xz}+2yz\partial_{yz}\right)f(\vec 0)$$Die Berechnung ist nun etwas aufwendiger, weil einfach viele Ableitungen bestimmt werden müssen. Ich spare mir die Details und schreibe einfach nur die Zwischenergebnisse auf:$$f(\vec x)=(1-z)e^{x-y^2}$$$$\partial_x f(\vec x)=(1 - z) e^{x - y^2}$$$$\partial_y f(\vec x)=2y(z - 1)e^{x - y^2}$$$$\partial_z f(\vec x)=-e^{x - y^2}$$$$\partial_{xx} f(\vec x)=(1 - z) e^{x - y^2}$$$$\partial_{yy} f(\vec x)=-2(2 y^2-1)(z - 1) e^{x - y^2}$$$$\partial_{zz} f(\vec x)=0$$$$\partial_{xy} f(\vec x)=2 y (z - 1) e^{x - y^2}$$$$\partial_{xz} f(\vec x)=-e^{x - y^2}$$$$\partial_{yz}f(\vec x)=2 y e^{x - y^2}$$Damit können wir die Taylorreihe bis zur 2-ten Ordnung hinschreiben:

$$f(\vec x)=\underbrace{f(\vec 0)}_{=1}+x\underbrace{\partial_xf(\vec 0)}_{=1}+y\underbrace{\partial_yf(\vec 0)}_{=0}+z\underbrace{\partial_zf(\vec 0)}_{=-1}$$$$\phantom{f(\vec x)}+\frac{x^2}{2}\underbrace{\partial_{xx}f(\vec 0)}_{=1}+\frac{y^2}{2}\underbrace{\partial_{yy}f(\vec 0)}_{=-2}+\frac{z^2}{2}\underbrace{\partial_{zz}f(\vec 0)}_{=0}$$$$\phantom{f(\vec x)}+xy\underbrace{\partial_{xy}f(\vec 0)}_{=0}+xz\underbrace{\partial_{xz}f(\vec 0)}_{=-1}+yz\underbrace{\partial_{yz}f(\vec 0)}_{=0}$$$$f(\vec x)=f(x,y,z)\approx1+x-z+\frac{x^2}{2}-y^2-xz$$

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Vielen Dank , geiler Antwort