Bestimme die 1. Ableitung

Question

 Aufgaben: 1. Ableitung bestimmen mit Rechenweg/Regelanwendung

$f(t)=\ln (t \cos t)$

$f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+1}}$

Problem/Ansatz: Ich bin gerade dabei mehrere Aufgaben zum ableiten von Funktionen zu lösen, bei den Beiden weiß ich aber leider nicht weiter. Kann mir bitte jemand den Lösungsweg für die 1. Ableitung, mit Anwendung der entsprechenden Ableitungsregeln aufzeigen? :)

Answer 1

Zu der 1. Funktion bitte bedenken, dass diese nur in $$(0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k\in \mathbb{N}_0} \left(\frac{(3+4k)\pi}{2}, \frac{(5+4k)\pi}{2} \right) \cup \bigcup_{k\in \mathbb{N}} \left(\frac{(1-4k)\pi}{2}, \frac{(3-4k)\pi}{2} \right)$$

reell definiert ist.

An den Stellen ist die Funktion stetig und differenzierbar.
Ableitung mit der Kettenregel (und Produktregel):
$$f'(t)=\frac{1}{t\cdot cos(t)} \cdot \frac{d}{dt} (t\cdot cos(t)) = \frac{1}{t\cdot cos(t)} \cdot (cos(t)-t\cdot sin(t)) = \frac{1}{t} - tan(t)$$

Zu der 2. Funktion bitte bedenken, dass diese nur für $$x>\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ reell definiert (sowie stetig und differenzierbar) ist.
Ableitung ebenfalls mit der Kettenregel (mehrfach):
$$f'(x)=\frac{1}{2} \cdot \left(x+\sqrt{x+1}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (x+\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2} \cdot \left(x+\sqrt{x+1}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(1+\frac{1}{2} \cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}}\right)$$
Nach ein wenig "vereinfachen":
$$f'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x+\sqrt{x+1}}} \cdot \left(1+\frac{1}{2\cdot \sqrt{x+1}}\right)$$