Zu der 1. Funktion bitte bedenken, dass diese nur in $$(0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k\in \mathbb{N}_0} \left(\frac{(3+4k)\pi}{2}, \frac{(5+4k)\pi}{2} \right) \cup \bigcup_{k\in \mathbb{N}} \left(\frac{(1-4k)\pi}{2}, \frac{(3-4k)\pi}{2} \right)$$
reell definiert ist.
An den Stellen ist die Funktion stetig und differenzierbar.
Ableitung mit der Kettenregel (und Produktregel):
$$f'(t)=\frac{1}{t\cdot cos(t)} \cdot \frac{d}{dt} (t\cdot cos(t)) = \frac{1}{t\cdot cos(t)} \cdot (cos(t)-t\cdot sin(t)) = \frac{1}{t} - tan(t)$$
Zu der 2. Funktion bitte bedenken, dass diese nur für $$x>\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ reell definiert (sowie stetig und differenzierbar) ist.
Ableitung ebenfalls mit der Kettenregel (mehrfach):
$$f'(x)=\frac{1}{2} \cdot \left(x+\sqrt{x+1}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (x+\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2} \cdot \left(x+\sqrt{x+1}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(1+\frac{1}{2} \cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}}\right)$$
Nach ein wenig "vereinfachen":
$$f'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x+\sqrt{x+1}}} \cdot \left(1+\frac{1}{2\cdot \sqrt{x+1}}\right)$$
