Aloha :)
Wir suchen ein Potential \(V\) von \(F\), sodass$$F(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x\cosh(x^2+yz)+1\\z\cosh(x^2+yz)+1\\y\cosh(x^2+yz)\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix}\partial_x V\\\partial_y V\\\partial_z V\end{pmatrix}$$Am einfachsten ist wohl die partielle Integration der \(z\)-Komponente nach \(\partial z\), sodass:$$V(x,y,z)=\int y\cosh(x^2+yz)\,\partial z=\sinh(x^2+yz)+c(x,y)$$Weil wir hier partiell nach \(\partial z\) integriert haben, hängt die Integrationskonstante von \(x\) und \(y\) ab. Zur Bestimmung dieser Konstanten setzen wir \(V\) für die \(x\)-Komponente ein:$$2x\cosh(x^2+yz)+1=\partial_xV=2x\cosh(x^2+yz)+\partial_x c(x,y)$$$$\Rightarrow\quad \partial_x c(x,y)=1\quad\Rightarrow\quad c(x,y)=x+c(y)$$Wir sind fast soweit, nur noch die \(y\)-Komponente:$$z\cosh(x^2+yz)+1=\partial_y V=z\cosh(x^2+yz)+0+\partial_y c(y)$$$$\Rightarrow\quad \partial_y c(y)=1\quad\Rightarrow\quad c(y)=y$$Wir bauen alles zusammen:$$\boxed{V(x,y,z)=\sinh(x^2+yz)+x+y}$$
Da wir ein Potential \(V\) bestimmen konnten, ist das Wegintegral über \(F\) unabhängig vom Weg. Nur Start- und Endpunkt sind interessant.$$\gamma(0)=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\gamma(\pi/2)=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$$$\int\limits_\gamma\vec F\,d\vec x=\int\limits_\gamma\partial_{\vec x}V\,d\vec x=\int\limits_{\gamma(0)}^{\gamma(\pi/2)}dV=V(0,0,3)-V(0,3,0)=-3$$
