Gleichungssystem mit Parametern a und b lösen

Question

 

Ich habe ein Problem mit einem Gleichungssystem mit Parametern...  normalerweise habe ich kein Problem
"normale" Gleichungssysteme (ohne Parametern) mit dem Gauß Verfahren zu lösen.

Jedoch bereitet mir das folgende irgendwie schwirigkeiten durch die Parameter:

2x   +   3y     + z     =   a
x      -      y     + z     =   1
3x    +   2y   +  2z   =   b

 

Wie komme ich hierbei auf eine Lösung?

 

Comments

hallo!

das rechnet man im prinzip wie "normale" lineare gleichungssysteme. auf der rechten seite hast du lediglich keinen konkreten zahlenwert sondern symbolische summanden, wie z.b. a + 1 + b, wenn man z.b. alle drei gleichungen addieren würde.

Answer 1

hello again! :p

2 3 1 a    I
1 -1 1 1   II
3 2 2 b    III

I*3, II*(-6), II*(-2)

6 9 3 3a
-6 6 -6 -6
-6 -4 -4 -2b

I + II, I+III

6 9 3 3a
0 15 -3 3a - 6
0 5 -1 3a - 2b

III*(-3)

6 9 3 3a
0 15 -3 3a - 6
0 -15 3 6b - 9a

II + III

6 9 3 3a
0 15 -3 3a - 6
0 0 0 6b - 6a - 6

z = 0, darum muss 6b - 6a - 6 = 0 werden

6b - 6a - 6 = 0
a = b-1
b frei wählbar

15y -3z = 3a - 6
15y -3*0 = 3a - 6
y = a/5 - 2/5
y = (b-1)/5 - 2/5

2x + 3y + 0z = a
2x + 3(a/5 - 2/5) = a
x = a/5 + 3/5
x = (b-1)/5 + 3/5

grüße

Comments

P. S.
da ist sind noch zwei schönheitsfehler drin :-(

1)

anstatt "z = 0, darum muss 6b - 6a - 6 = 0 werden"
hätte ich schreiben sollen:

wegen der zeile 0 0 0 6b - 6a - 6
muss 6b - 6a - 6 null werden, weil kein z die gleichung
z*0 = 6b - 6a - 6 erfüllen kann.

es muss 6b - 6a - 6 = 0 gelten, damit das gleichungssystem lösbar wird.
da ist der fall, wenn a = b - 1 ist

2)

ich habe einfach z = 0 gesetzt. kann man machen, z kann aber beliebig gewählt werden!
darum rechne ich x und y erneut aus, damit das z nicht einfach so flöten geht:

15y - 3z = 3a - 6
15y = 3a + 3z - 6
y = a/5 + z/5 - 2/5

2x + 3y + z = a
2x 3(a/5 + z/5 - 2/5) + z = a
x = a/5 - z/5 + 3/5

zusammenfassend ergibt das
x = a/5 - z/5 + 3/5
y = a/5 + z/5 - 2/5
a = b - 1
z beliebig wählbar
b beliebig wählbar

probe durch einsetzen von x, y in III

3x + 2y + 2z =
3a/5 - 12z/5 + 9/5 + 2a/5 + 2z/5 - 4/5 + 2z =
a + 1 = b

bingo :-)

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Danke für deine Antwort!

Wie genau gehe ich jetzt vor wenn ich nur a und b bestimmen muss?

Ich habe jetzt errechnet

a=b-1 und b=3a-15y+3z+b

Ist das richtig???? Habe einfach die vorletzte Zeile nach b aufgelöst....

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gerne!

wenn du nur a oder b bestimmen willst, wähle b beliebig, dann ist a = b - 1.

oder wähle a beliebig, dann ist b = a + 1. nur unter dieser voraussetzung hat das lgs eine lösung, wobei du noch ein z wählen musst. denkbar wäre auch ein frei wählbares y, dann müsste man die gleichung umformen.