Matrix Gleichung mit XA+B=E Lösung gesucht

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Berechnen Sie die Lösung der Gleichung } X \cdot A+B=E \text{ für die Matrix } X^{(2,2)} \\ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ $$

Problem/Ansatz:

Könnte jemand mir Tipps geben, bzw. helfen wie man sowas löst?

Answer 1

Hallo,

Könnte jemand mir Tipps geben, bzw. helfen wie man sowas löst?

Du löst es genauso wie eine 'normale' Gleichung mit einer Unbekannten \(X\). Wobei im Wesentlichen zwei Dinge zu beachten sind.

1.) Die Multiplikation ist nicht kommutativ - d.h. im Allgemeinen ist \(X \cdot A \ne A \cdot X\)

2.) Division gibt es nicht, aber die Möglichkeit Matrizen zu invertieren. Beispiel$$\begin{aligned}X \cdot A &= M &&\left| \, \cdot A^{-1}\right. \\ X \cdot \underbrace{A \cdot A^{-1}}_{=E} &= M \cdot A^{-1}\end{aligned}$$

.. und die Multiplikation mit der Einheitsmatrix \(E\) ändert die Matrix nicht. So wie die Multiplikation mit \(1\).

Ein Tipp zum Invertieren von 2x2-Matrizen. Ist $$A = \begin{pmatrix}3& 2\\ 1& 1\end{pmatrix}$$ so kann man die Inverse - also \(A^{-1} \) - bestimmen, indem man die Elemente der Hauptdiagonalen vertauscht, die Elemente der Nebendiagonalen negiert und die Matrix durch die Determinante teilt. Hier ist \(\det(A)=3-2=1\); dann ist$$A^{-1} = \begin{pmatrix}1& -2\\ -1& 3\end{pmatrix}$$so - jetzt solltest Du wissen, wie man nach $$X = (E-B) \cdot A^{-1}$$ kommt. Und die Lösung ist$$X = \begin{pmatrix}2& -6\\ 0& -2\end{pmatrix}$$rechne bitte selber nach!

Comments

Woher kriege ich die Matrix M oben?

---

Woher kriege ich die Matrix M oben?

das ist nur ein Beispiel, wie in einer Gleichung \(X \cdot A = M\) das \(X\) isoliert wird, da es ja eine 'Division' durch \(A\) für Matrizen nicht gibt.

Stände dort \(x \cdot a = m\) mit \(x,a,m \in \mathbb R\), dann könnte man ja einfach schreiben $$\begin{aligned} x \cdot a &= m &&| \, \div a \\ x &= \frac ma\end{aligned}$$

Ansonsten kannst Du Matrizen gleicher Größe lustig addieren und subtrahieren, also z.B. in der Gleichung \(X \cdot A + B = E\) auf beiden Seiten \(B\) subtrahieren.

Answer 2

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) +\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Answer 3

X * A + B = E

X * A = E - B

X = (E - B) * A^{-1}

X = ([1, 0; 0, 1] - [1, 2; 2, 3])·[3, 2; 1, 1]^(-1) = [2, -6; 0, -2]