Die Flugbahn des Fußballs bei einem schuss lässt sich beschreiben mit f(x)=-1/160x²+4 (x und y in m)
a) wie hoch ist der ball nach einem meter flug horizontal gerechnet? b) Für welchen x-wert hat der ball die höhe von 2m? c) Für welchen x-wert erreicht der ball seine größte höhe? d) Ein 1,90m großer gegenspieler steht 10m entfernt, kann er den ball abwehren?
Teil a) Es soll vermutlich angenommen werden, dass der Ball aus der Höhe Null (also auf dem Boden liegend) abgeschossen wird. Dann muss man aber erst einmal herausfinden, wo die Flugbahnparabel ihre Nullstellen hat, wo also die Abschussstelle liegt.
Also:
f ( x ) = ( - 1 / 160 ) x ² + 4 = 0
<=> (1 / 160 ) x ² = 4
<=> x ² = 4 * 160 = 640
<=> x = +/- Wurzel ( 640 ) = +/- 25,298... m
Der Ball wird also (wenn er von links nach rechts durchs Koordinatensystem fliegt), bei x = - Wurzel ( 640 ) m abgeschossen.
Nach einem Meter, also an der Stelle x = - Wurzel ( 640 ) + 1 erreicht er die Flughöhe
f ( - Wurzel ( 640 ) + 1 ) = ( - 1 / 160 ) * ( - Wurzel ( 640 ) + 1 ) ² + 4
= 0,3099... m
also etwa 31 cm.
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Teil b) Die Höhe von 2 Metern erreicht der Ball dort, wo die Funktion diesen Wert annimmt, also dort wo gilt
f ( x ) = ( - 1 / 160 ) x ² + 4 = 2
<=> 2 = ( 1 / 160 ) x ²
<=> x = +/- Wurzel ( 320 ) = +/- 17,888.. m
Diese Stelle ist von der Abschussstelle
Wurzel ( 640 ) - Wurzel ( 320 )
= Wurzel ( 2 * 320 ) - Wurzel ( 320 )
= Wurzel ( 2 ) * Wurzel ( 320 ) - Wurzel ( 320 )
= Wurzel ( 320 ) * ( Wurzel ( 2 ) - 1 ) = 7,409...
Meter entfernt.
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Teil d) Der Gegenspieler kann den Ball (ohne zu springen) abwehren, wenn der Ball nach 10 Metern Flug die Höhe des Gegenspielers ( 1,90 m ) noch nicht überschritten hat).
Nach 10 Metern Flug (horizontal betrachtet) befindet sich der Ball an der Stelle
x = - Wurzel ( 640 ) + 10
Dort hat er die Flughöhe:
f ( - Wurzel ( 640 ) + 10 ) = ( - 1 / 160 ) * ( - Wurzel ( 640 ) + 10 ) ² + 4
= 2,537 Meter
ist also schon wesentlich höher, als der Kopf des Gegners, der ihn daher nicht abwehren kann (höchstens wenn er mindestens 63,7 m hoch springt
