Divergenzsatz zeigen an einem Beispiel

Question

Hallo liebe MatheLounge Community,

ich habe folgende Aufgabe, siehe beigefügtes Bild 1…  Okay, der Upload von fotografierten Buchseiten ist verboten.  Also dann so:

Text erkannt:

Example: Use the Divergence Theorem to calculate the flux of $\vec{F}(x, y, z)=\left\langle x^{3}, y^{3}, z^{3}\right\rangle$ across the sphere $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
The divergence of $\vec{F}$ is
$$\operatorname{div} \vec{F}=3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$$
The sphere $S$ is the boundary of the ball $B$ given by $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 .$ In spherical coordinates,
$$B=\{(\rho, \theta, \phi) \mid 0 \leq \rho \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \phi \leq \pi\}$$
By the Divergence Theorem,
$$\begin{aligned} \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{N} d S &=\iiint_{B} \operatorname{div} \vec{F} d V \\ &=3 \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V \\ &=3 \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1} \rho^{4} \sin \phi d \rho d \phi d \theta \\ &=\left.\frac{6 \pi}{5} \int \limits_{0}^{\pi} \rho^{5} \sin \phi\right|_{0} ^{1} d \phi \\ &=\frac{6 \pi}{5} \int \limits_{0}^{\pi} \sin \phi d \phi \\ &=-\left.\frac{6 \pi}{5} \cos \phi\right|_{0} ^{\pi} \\ &=\frac{12 \pi}{5} \end{aligned}$$

Zu zeigen ist der Divergenz-Satz
$$\int_{}^{}\int_{S}^{}\vec{F} \cdot \vec{N}dS=\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{B}^{}div \vec{F} dV$$

am Beispiel

$$\vec{F}(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^3\\y^3\\z^3 \end{pmatrix}$$

wobei der Bereich B die Einheitskugel sein soll. 
Die rechte Seite der Gleichung ergibt, wie in Bild 1 dargestellt, (12 * pi) / 5.  Jetzt soll die linke Seite ausgerechnet werden.  Hierfür verwenden wir die folgenden Kugelkoordinaten, gemäß dem Formalismus aus Bild 1:  Siehe Wikipedia Kugelkoordinaten.  Bild 2:

Berechnung von
$$\int_{}^{}\int_{S}^{}\vec{F} \cdot \vec{N}dS$$
Das ist ein Oberflächenintegral zweiter Art. 

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral. 

Hier findet sich (Bild 3)

Die Parametrisierung der Oberfläche der Einheitskugel mit phi(u, v) sieht aus wie folgt, Bild 4:

Ich habe für die u und v unser phi und theta eingesetzt, und das Doppelintegral ausgerechnet.  So komme ich sowohl per Hand als auch mit dem Integralrechner,

https://www.integralrechner.de

auf 5,4265.  Verschiedene Vorzeichen aufgrund der Orientierung des Normalenvektors werden hier vernachlässigt.  Herauskommen muss aber (12 pi) / 5 = 7,5398.  Was habe ich falsch gemacht?

Sollte es erforderlich sein, dass ich meinen gesamten Rechenweg teche, bitte Bescheid geben.

Vielen Dank!

Hier geht es um den Integralsatz von Gauß.  Siehe auch Integralsatz von Stokes:
https://www.mathelounge.de/742086/integralsatz-von-stokes

Comments

Hallo,

Dein erstes ERgebnis habe ich auch erhalten.

Bevor ich mich in die Rechnung für den zweiten Teil stürze: In Deiner Skizze bist Du bei den Winkelbezeichnungen von den üblichen abgewichen. Daher die Frage: In der angegebenen Parametrisierung sollte jedenfalls v in $(0,2 \pi)$ und u in $(0,\pi)$ laufen?

Gruß

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Hallo MathePeter, bei den Winkelbezeichnungen habe ich mich an der Originalaufgabe orientiert, die ich leider nicht beifügen durfte.  Ich arbeite immer mit den Variablen aus den Originalaufgaben.  Auch wenn sie doof sind.  -  Deine Frage beantworte ich morgen.

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Hallo MathePeter, deine Aussage ist richtig.
Bei mir beginnt theta bei der pos. x-Achse und läuft von 0 bis 2 pi.  In Wiki ist das v.
Bei mir beginnt phi bei der pos. z-Achse und läuft von 0 bis pi.  In Wiki ist das u.

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Hallo MathePeter, vielen Dank, dass du mir helfen wolltest.  Jetzt stockt es.  Hast du keine Lust mehr?

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Hallo,

ich hatte dasselbe Problem wie Du (2 Lösungen). Hatte aber auch den Eindruck, dass Du nicht mehr dran bist. Ich rechne das nochmal ganz von vorn.

Gruß

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Hallo MathePeter, das ist ja super interessant, dass du auch zwei verschiedene Lösungen hast.  Dann bin ich auf deine weiteren Rechnungen gespannt.  Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

habe jetzt in beiden Fällen$\frac{12}{5} \pi$ heraus. Ich habe folgende Parametrisierung verwendet:
$$\begin{pmatrix}\sin(u) \cos(v) \\ \sin(u) \sin(v) \\ \cos(u)\end{pmatrix} \text{ mit }u \in [0,\pi], v \in [0,2 \pi]$$

Für das Oberflächenintegral ist zu integrieren:

$$\sin(u)\left[ \sin(u)^4 \cos(v)^4 + \sin(u)^4 \sin(v)^4 + \cos(u)^4 \right]$$

Gruß

Comments

Hallo Peter, vielen Dank für deine Mühe.  Auf dieses Integral kam ich auch.  Dass du diesen ersten Schritt überprüft hast, ist schon mal eine große Hilfe.  Allerdings lieferte mir dieses Integral einen anderen Wert als dir.  Hier nochmal das Integral mit den Variablen aus der Originalaufgabe:

$$\int_{}^{}\int_{S}^{}\vec{F} \cdot \vec{N}dS \\ = \int_{θ=0}^{2π}\int_{φ=0}^{π}( cos(θ)^4 sin(φ)^5 + sin(θ)^4 sin(φ)^5 + cos(φ)^4 sin(φ) )\,dφ\,dθ$$

Jetzt löse ich dieses Integral nochmal mit dem Integralrechner www.integralrechner.de und komme *diesmal* auf dasselbe Ergebnis wie du:

Eingabe:
cos(t)⁴*sin(p)⁵ + sin(t)⁴*sin(p)⁵ + cos(p)⁴*sin(p)
Dabei bedeutet t theta und p phi.
Integration von p = 0 bis pi.

Ausgabe:

Eingabe:
(16 * sin(t)⁴ + 16 * cos(t)⁴ + 6) / 15
Integration von t = 0 bis 2*pi.

Ausgabe:

Super!!!  Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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Ende gut, alles gut ;-)