Oberfläche einer parametrisierten Kugel

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Oberfläche einer mittels
$$ \vec{r}(\vartheta, \varphi)=r\left(\begin{array}{c} \sin (\vartheta) \cos (\varphi) \\ \sin (\vartheta) \sin (\varphi) \\ \cos (\vartheta) \end{array}\right), \vartheta \in[0, \pi], \varphi \in[0,2 \pi] $$
parametrisierten Kugel vom Radius \( r \)

Problem/Ansatz:

Ich bin über das Flächenintegral \(\int_{U} \! \sqrt{g} \, d^{2}u\) gegangen.

Dabei ist  \(g=det(g_{ab})\) und \(g_{ab}=\partial_{a}\vec{r}\cdot\partial_{b}\vec{r}\).

Ich bin dann zu \(g=r^{4}sin^{2}(\vartheta)\) gekommen.

Somit würde dann ja beim Flächenintrgral \(A=2r^{2}\) herauskommen. Ergibt das Sinn?

Denn normalerweise ist die Oberfläche der Kugel ja \(A=4\pi r^{2}\).

Comments

Du müsstest \(A=2\pi r^{2}\) herausbekommen; bei deinem Ergebnis fehlt das \(\pi\).

Ansonsten sollte das richtig sein, denn wegen \(\vartheta\in\left[0,\pi\right]\) berechnest du ja den Flächeninhalt der oberen Halbkugelschale. Die gesamte Oberfläche muss dann eben doppelt so groß sein.

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Hallo,

der Kommentar von az0815 ist falsch. Die angegebene Parametrisierung gilt für die gesamte Kugel.

Gruß

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der Kommentar von az0815 ist falsch. Die angegebene Parametrisierung gilt für die gesamte Kugel.

Danke schön, ich sehe den Fehler noch nicht und werde noch mal darüber nachdenken. (Ergebnisse dann nächste Woche.)

Answer 1

Aloha :)

$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in[0;\pi]$$Die angegebene Parametrisierung ist bereits so gewählt, dass \(\vec r\) die gesamte Oberfläche der Kugel abtastet. Zur Berechnung der Oberfläche benötigen wir das Flächenelement \(d\vec f\) in Kugelkoordinaten:$$d\vec f=\frac{\partial\vec r}{\partial\vartheta}d\vartheta\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\cos\vartheta\\r\cos\varphi\cos\vartheta\\-r\sin\vartheta\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}d\vartheta\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}r^2\sin^2\vartheta\cos\varphi\\r^2\sin^2\vartheta\sin\varphi\\r^2\cos^2\varphi\sin\theta\cos\vartheta+r^2\sin^2\varphi\sin\vartheta\cos\vartheta\end{pmatrix}d\vartheta\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec f}=r^2\sin\vartheta\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}d\vartheta\,d\varphi=r^2\sin\vartheta\,\vec e_r\,d\vartheta\,d\varphi$$Wegen \(\|\vec e_r\|=1\) ist der Betrag des Flächenelementes \(df=r^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi\) und daher:$$F=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\pi df=r^2\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi}\sin\vartheta=r^2\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi}=r^2(2\pi-0)(1-(-1))$$$$\phantom{F}=4\pi r^2$$

Comments

Ich hatte tatsächlich nur einen kleinen Fehler am Ende.

Answer 2

Hallo,

Flächenelement: dA=r^2 sin(theta) dphi dtheta

Gesamtfläche:

r^2*Integral (0 bis 2pi) dphi

* Integral (0 bis pi) sin(theta) dtheta

=r^2  2*pi*-[-1-1]=4pi* r^2