Hey Mathegast2020,
schöne Grenzwertaufgabe von Zahlenfolgen! Gesucht ist der Grenzwert von \(a_n=\sqrt{4n^2-3n+5}-2n\). Würdest du einfach nur für \(n\) jetzt \(\infty\) "einsetzen", hättest du den Fall \(\infty-\infty\). Diesen Fall mit einer Quadratwurzel kannst du immer lösen über die umgestellte 3. binomische Formel:
$$x-y=\dfrac{x^2-y^2}{x+y},$$
wobei hier \(x=\sqrt{4n^2-3n+5}\) und \(y=2n\) ist. Das heißt du hast:
$$a_n=\sqrt{4n^2-3n+5}-2n = \dfrac{4n^2-3n+5-4n^2}{\sqrt{4n^2-3n+5}+2n} = \dfrac{-3n+5}{\sqrt{4n^2-3n+5}+2n}=\dots$$
Wenn du jetzt noch ein n im Zähler und Nenner ausklammerst, dann bist du am Ziel:
$$\dots=\dfrac{n\cdot\left(-3+\frac{5}{n}\right)}{n\cdot\left(\sqrt{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}+2\right)}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\dfrac{-3}{\sqrt{4}+2}=-\dfrac{3}{4}$$
Viel Spaß
MathePeter
