Zeigen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes, dass ...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes, dass für u ∈ B { w ∈ R^3 : ||w|| ≤ 1} gilt :

|f(u) -1| ≤ 4e ||u||

Problem/Ansatz:

Man muss ja hierfür die Cauchy Schwarz Ungleichung benutzen bzw. sie bietet sich an. Diese besagt ja, dass :

|<v,w>| ≤ ||v||*||w||, aber das zu wissen oder zu erkennen hilft mir nicht wirklich weiter. Kann mir jemand bitte einen Input geben. Hab bald eine Klausur und solche Aufgaben liebt mein Dozent -.-

Edit: die Funktion lautet : f(x,y,z): exp(\( x^{2} \) -\( y^{2} \)) + xz

Answer 1

Hallo,

Man muss ja hierfür die Cauchy Schwarz Ungleichung benutzen bzw. sie bietet sich an.

Dies ist eine Anwendung des mehrdimensionalem Schrankensatzes. Tatsächlich folgt der Schrankensatz aus der Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf den Mittelwertsatz.

Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen \(f: D\to \mathbb{R}\) auf einer offenen Menge \(D\subset \mathbb{R}^n\) lautet:

Sind \(x,y\in D\) zwei verschiedene Punkte, für welche auch die Verbindungsstrecke \(S_{x,y}=\{x+t(y-x) ; 0\leq t \leq 1\}\) in \(D\) liegt, dann gibt es einen Punkt \(\xi \in S_{x,y}\) mit: $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \quad  \boxed{f(y)-f(x)=\operatorname{grad}f(\xi)\cdot (y-x)}$$

Wendet man auf das Skalarprodukt \(\operatorname{grad}f(\xi)\cdot (y-x)\) nun die Cauchy-Schwarz-Ungleichung an, so folgt, dass:$$|f(y)-f(x)|\leq ||\operatorname{grad}f(\xi)||\cdot ||y-x||\leq \max \limits_{\xi \in S_{x,y}}||\operatorname{grad}f(\xi)|| \cdot ||y-x||$$ Verwende diese Ungleichung, um dein Problem zu lösen. Nutze am besten die Maximumsnorm.