Hey billyboy1,
Du hast vollkommen Recht! Der Term, der nach der Transformation integriert werden muss, ist \(r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)z\).
Die Integralgrenzen lauten (von Innen nach Außen):
(1) \(x^2+y^2\leq z\leq \sqrt{x^2+y^2}\)
(2) \(0\leq x\leq\sqrt{1-y^2}\)
(3) \(-1\leq y\leq1\)
Wenn du jetzt (2) und (3) zusammenfässt, dann passiert was spannendes:
\(0\leq x\leq\sqrt{1-y^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leq x^2\leq 1-y^2\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2\leq1\quad \)
Zusammen mit \(x\geq0\) und \(-1\leq y\leq1\) hast du also einen Halbkreis in der \(x\)-\(y\)-Ebene im 1. und 4. Quadranten.
Der Radius der Kreisfläche erstreckt sich vom Ursprung (\(r=0\)) bis zum äußersten Rand (\(r=1\)). und von der negativen \(y\)-Achse (\(\varphi=-\frac{\pi}{2})\) bis zur positiven \(y\)-Achse (\(\varphi=\frac{\pi}{2})\).
Fehlen nur noch die \(z\)-Grenzen. Dank der Substitution mit Polarkoordinaten hast du also als innere Grenzen \(r^2\leq z\leq r\)
Erster Gedanke, bei einem Zylinder: Zylinderkoordinaten
\( (\ast)\quad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cdot\cos(\varphi) \\ r\cdot\sin(\varphi) \\ z \end{pmatrix}, \quad \varphi \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\ r\in[0,1],\ z\in[r^2,r] \).
Fertig die Grenzen \(a,b,c,d,e,f\).
Jetzt nur noch die Transformation \((\ast)\) selbst durch führen, also \(x,y,z\) im Integranden ersetzen und beachten: \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\cdot\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\), führt zur gewünschten Koordinatentransformation.
Viel Spaß!
MathePeter
